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東京大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

aを自然数（すなわち1以上の整数）の定数とする。

白球と赤球があわせて1個以上入っている袋Uに対して，
次の操作（＊）を考える。

（＊）袋Uから球を1個取り出し，

(i) 取り出した球が白球のときは，袋Uの中身が白球a個，赤球1個となるようにする。

(ii) 取り出した球が赤球のときは，その球を袋Uへ戻すことなく，袋Uの中身はそのままにする。

はじめに袋Uの中に，白球がa+2個，赤球が1個入っているとする。
この袋Uに対して操作（＊）を繰り返し行う。

たとえば，1回目の操作で白球が出たとすると，袋Uの中身は白球a個，赤球1個となり，さらに2回目の操作で赤球が出たとすると，袋Uの中身は白球a個のみとなる。

n回目に取り出した球が赤球である確率をpnとする。
ただし，袋Uの中の個々の球の取り出される確率は等しいものとする。

(1) p1，p2を求めよ。

(2) n≧3に対してpnを求めよ。

(3) lim⁡m→∞1m∑n=1mpnを求めよ。

難易度5/ 10計算量5/ 10目安20分

確率、数列　確率漸化式、漸化式の変形、状態分類、極限計算

方針

文科第2問と同じ確率漸化式を立てる。初回だけ袋の中身が白球 a+2 個、赤球1個であり、2回目以降は前回白球なら白球 a 個・赤球1個、前回赤球なら赤球なしになる。これにより pn=(1−pn−1)/(a+1) を得て、定数解 1/(a+2) を引いて等比型にする。(3) は ∣−1/(a+1)∣<1 から、等比部分の平均が0に消えることを示す。

解答

(1)

はじめ、袋には白球が a+2 個、赤球が1個入っている。したがって p1=1a+3 である。

2回目に赤球を取り出すためには、1回目に白球を取り出す必要がある。1回目に白球が出る確率は a+2a+3 である。その後、袋の中身は白球 a 個、赤球1個になるので、2回目に赤球を取り出す確率は 1a+1 である。よって p2=a+2a+3⋅1a+1=a+2(a+3)(a+1) である。

(2) n≧2 とする。n−1 回目に白球が出る確率は 1−pn−1 である。この場合、操作後の袋の中身は白球 a 個、赤球1個なので、次の n 回目に赤球が出る確率は 1/(a+1) である。

一方、n−1 回目に赤球が出た場合、その赤球は袋へ戻されない。直後の袋には赤球がないので、n 回目に赤球が出る確率は0である。

したがって pn=1−pn−1a+1(n≧2) である。この式を pn−1a+2=−1a+1(pn−1−1a+2) と変形する。初項は p1−1a+2=1a+3−1a+2=−1(a+3)(a+2) であるから pn−1a+2=−1(a+3)(a+2)(−1a+1)n−1 である。よって、n≧3 に対してpn=1a+2−1(a+3)(a+2)(−1a+1)n−1である。

(3)

(2) の式を用いると1m∑n=1mpn=1a+2−1(a+3)(a+2)⋅1m∑n=1m(−1a+1)n−1である。

ここで a は自然数なので ∣−1a+1∣<1 である。したがって等比数列の和は有界であり、具体的には∣∑n=1m(−1a+1)n−1∣≦11−1a+1=a+1aである。よって、この和を m で割ったものは m→∞ で0に近づく。

したがって lim⁡m→∞1m∑n=1mpn=1a+2 である。

総評

難度5、計算量5。目安時間は20分。文科版に平均の極限が加わった問題である。初回の袋と2回目以降の標準状態を区別し、pn=(1−pn−1)/(a+1) を正しく立てることが中心となる。(3) は pn の極限をただ書くだけでなく、等比部分の和を m で割ると0になる理由まで書くと答案が締まる。 初項を含む閉じた形を作ってから平均を取ると、極限処理で余計な場合分けを避けられる。

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出典: 東京大学 2014年度 前期 第2次学力試験 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。