東京大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

領域$$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leqq 25,2x+y\leqq 5\}$$を考える。平方完成すると$$z=(x-a{)}^2+(y-b{)}^2-a^2-b^2$$である。したがって、点 $A_0(a,b)$ から $D$ までの距離の二乗を $d^2$ とすれば、求める最小値は $d^2-a^2-b^2$ である。

円と直線の交点は$$E=(0,5),F=(4,-3)$$である。最近点の位置ごとに条件を調べる。

1. 点 $A_0$ 自身が最近点となる場合

$A_0\in D$ の条件は$$a^2+b^2\leqq 25,2a+b\leqq 5.$$このとき $d=0$ なので、最小値は $-a^2-b^2$ である。

2. 円弧上が最近点となる場合$$R=\sqrt{a^2+b^2}$$ とする。円の外側 $R\geqq 5$ にある $A_0$ の半径方向の射影は$$(\frac{5a}{R},\frac{5b}{R})$$である。この点が残された円弧上にある条件は$$\frac{10a+5b}{R}\leqq 5⟺2a+b\leqq R\mathrm{.}$$方向を円周上で見ると、これは$$a\leqq 0\text{または}b\leqq -\frac{3}{4}a$$と同値である。したがって条件は$$a^2+b^2\geqq 25,(a\leqq 0\text{ または }b\leqq -\frac{3}{4}a)\mathrm{.}$$このとき $d=R-5$ だから、最小値は$$(R-5{)}^2-R^2=25-10R\mathrm{.}$$3. 端点 $E$ が最近点となる場合

$E$ における円の外向き法線は $(0,5)$、直線境界の外向き法線は $(2,1)$ である。よって$$(a,b)-E=\lambda (0,5)+\mu (2,1)(\lambda ,\mu \geqq 0)$$と表せることが条件である。これを成分で解くと$$a\geqq 0,b\geqq \frac{1}{2}a+5.$$このときの最小値は$$\mathrm{\mid }{A}_{0}E{\mathrm{\mid }}^2-a^2-b^2=25-10b\mathrm{.}$$4. 端点 $F$ が最近点となる場合

同様に $F$ における2本の外向き法線は $(4,-3)$, $(2,1)$ である。$$(a,b)-F=\lambda (4,-3)+\mu (2,1)(\lambda ,\mu \geqq 0)$$を解くと$$\lambda =\frac{a-2b-10}{10},\mu =\frac{3a+4b}{10}\mathrm{.}$$したがって条件は$$-\frac{3}{4}a\leqq b\leqq \frac{1}{2}a-5.$$このときの最小値は$$\mathrm{\mid }{A}_{0}F{\mathrm{\mid }}^2-a^2-b^2=25-8a+6b\mathrm{.}$$5. 線分 $EF$ の内部が最近点となる場合

直線 $2x+y=5$ への垂線の足は$$(\frac{a-2b+10}{5},\frac{-2a+4b+5}{5})\mathrm{.}$$この点が線分 $EF$ 上にあり、$A_0$ が直線の外側にある条件は$$2a+b\geqq 5,\frac{1}{2}a-5\leqq b\leqq \frac{1}{2}a+5.$$直線までの距離の二乗は $(2a+b-5{)}^2\mathrm{/}5$ なので、最小値は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{(2a+b-5{)}^2}{5}-a^2-b^2}& {\displaystyle =-\frac{1}{5}{a}^2-\frac{4}{5}{b}^2+\frac{4}{5}ab}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -4a-2b+5.}\end{array}$$以上より、求める最小値は$$\{\begin{array}{ll}-a^2-b^2& (a^2+b^2\leqq 25,2a+b\leqq 5),\\ 25-10\sqrt{a^2+b^2}& (a^2+b^2\geqq 25,a\leqq 0\text{ または }b\leqq -{\displaystyle \frac{3}{4}}a),\\ 25-10b& (a\geqq 0,b\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}a+5),\\ 25-8a+6b& (-{\displaystyle \frac{3}{4}}a\leqq b\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}a-5),\\ -{\displaystyle \frac{1}{5}}{a}^2-{\displaystyle \frac{4}{5}}{b}^2+{\displaystyle \frac{4}{5}}ab-4a-2b+5& (2a+b\geqq 5,{\displaystyle \frac{1}{2}}a-5\leqq b\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}a+5)\end{array}$$である。境界上で条件が重なる場合、隣り合う式の値は一致する。

最近点は、青色領域の内部、灰色の円弧、橙色の線分、または両端点 $E,F$ のいずれかである。