東京大学 2017年度文理共通数学文科第4問・理科第4問解答・解説

問題

$p = 2 + 5$ とおき，自然数 $n = 1, 2, 3, \dots$ に対して

a_{n} = p^{n} + (- \frac{1}{p})^{n}

と定める。以下の問いに答えよ。ただし設問 $(1)$ は結論のみを書けばよい。

(1) $a_{1}, a_{2}$ の値を求めよ。

(2) $n ≧ 2$ とする。積 $a_{1} a_{n}$ を， $a_{n + 1}$ と $a_{n - 1}$ を用いて表せ。

(3) $a_{n}$ は自然数であることを示せ。

(4) $a_{n + 1}$ と $a_{n}$ の最大公約数を求めよ。

出典：東京大学 2017年度前期日程第2次学力試験文理共通文科第4問・理科第4問

方針

解法1

$q = - 1/ p$ とおくと， $p = 2 + 5$ から $q = 2 - 5$ ， $p + q = 4$ ， $pq = - 1$ が成り立つ。この2つの基本関係だけで(1)(2)を計算し，(2)から $a_{n + 1} = 4 a_{n} + a_{n - 1}$ という整数係数の漸化式を得る。(3)は初期値と漸化式による帰納法，(4)はユークリッドの互除法と同じ形で最大公約数を $(a_{2}, a_{1})$ まで戻す。

解法2

$p$ と $2 - 5 = - 1/ p$ がともに方程式 $X^{2} - 4 X - 1 = 0$ の解であることから，べき乗を足して漸化式を直接得る。(4)では $a_{n} = 2 b_{n}$ と正規化し，連続する $b_{n}$ が互いに素であることを互除法で示す。

解答

解法1

$q = - 1/ p$ とおく。 $p = 2 + 5$ であるから $q = - \frac{1}{2 + 5} = 2 - 5$ である。したがって $p + q = 4, pq = - 1$ であり， $a_{n} = p^{n} + q^{n}$ と書ける。

(1)

$a_{1} = p + q = 4$ である。また $a_{2} = p^{2} + q^{2} = (p + q)^{2} - 2 pq = 4^{2} - 2 (- 1) = 18$ である。

(2)

$a_{1} a_{n} = (p + q) (p^{n} + q^{n})$ である。右辺を展開すると $p^{n + 1} + q^{n + 1} + p q^{n} + q p^{n}$ であるが， $p q^{n} + q p^{n} = pq (q^{n - 1} + p^{n - 1}) = - a_{n - 1}$ である。よって $a_{1} a_{n} = a_{n + 1} - a_{n - 1}$ である。 $a_{1} = 4$ なので，これは $4 a_{n} = a_{n + 1} - a_{n - 1}$ とも書ける。

(3)

(2)より， $n ≧ 2$ で $a_{n + 1} = 4 a_{n} + a_{n - 1}$ が成り立つ。初期値は $a_{1} = 4, a_{2} = 18$ であり，どちらも自然数である。

いま $a_{n - 1}$ と $a_{n}$ が自然数であると仮定すると，漸化式から $a_{n + 1} = 4 a_{n} + a_{n - 1}$ も自然数である。したがって数学的帰納法により，すべての自然数 $n$ について $a_{n}$ は自然数である。

(4)

$d_{n}$ を $a_{n + 1}$ と $a_{n}$ の最大公約数とする。漸化式より $a_{n + 1} = 4 a_{n} + a_{n - 1}$ であるから， $a_{n + 1}$ と $a_{n}$ の公約数は， $a_{n - 1}$ と $a_{n}$ の公約数と一致する。実際，一方を割り切る整数は差 $a_{n + 1} - 4 a_{n} = a_{n - 1}$ も割り切り，逆も同様である。

したがって $d_{n} = d_{n - 1} = \dots = d_{1}$ である。最後に $d_{1} = g cd (a_{2}, a_{1}) = g cd (18, 4) = 2$ である。よって，任意の自然数 $n$ について， $a_{n + 1}$ と $a_{n}$ の最大公約数は $2$ である。

解法2

$r = 2 - 5$ とおくと $r = - 1/ p$ であり， $p, r$ はいずれも

X^{2} - 4 X - 1 = 0

の解である。よって $u = p, r$ について $u^{n + 1} = 4 u^{n} + u^{n - 1}$ が成り立つ。両式を加えると

a_{n + 1} = 4 a_{n} + a_{n - 1} (n ≧ 2)

を得る。

(1)

a_{1} = p + r = 4, a_{2} = (p + r)^{2} - 2 p r = 16 + 2 = 18.

(2)

上の漸化式と $a_{1} = 4$ から

a_{1} a_{n} = 4 a_{n} = a_{n + 1} - a_{n - 1} .

(3)

$a_{1} = 4, a_{2} = 18$ は自然数である。 $a_{n - 1}, a_{n}$ が自然数なら

a_{n + 1} = 4 a_{n} + a_{n - 1}

も自然数だから，数学的帰納法によりすべての $a_{n}$ は自然数である。

(4)

$b_{n} = a_{n} /2$ とおく。初期値は $b_{1} = 2, b_{2} = 9$ で，上の漸化式からすべての $b_{n}$ は整数である。また

g cd (b_{n + 1}, b_{n}) = g cd (4 b_{n} + b_{n - 1}, b_{n}) = g cd (b_{n}, b_{n - 1}) .

これを繰り返すと

g cd (b_{n + 1}, b_{n}) = g cd (b_{2}, b_{1}) = g cd (9, 2) = 1.

したがって

g cd (a_{n + 1}, a_{n}) = 2 g cd (b_{n + 1}, b_{n}) = 2

である。

東京大学 2017年度文理共通数学 文科第4問・理科第4問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2

(1)

(2)

(3)

(4)

東京大学 2017年度
文理共通数学文科第4問・理科第4問