東京大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

$t=x^2$ とおく。円との共有点では $x^2+(a{x}^3-2x{)}^2=1$ であるから $t\{(at-2{)}^2+1\}=1$ である。したがって $F(t)=a^2{t}^3-4a{t}^2+5t-1$ とおくと，調べるべき方程式は $$F(t)=0,0<t\leqq 1$$ である。 $t>0$ の1つの解に対して $$x=\pm \sqrt{t}$$ が得られ，この2つは異なる点を与える。よって共有点の個数が6個であることは，$F(t)=0$ が $(0,1]$ に相異なる3個の解をもつことと同値である。

導関数は $$F^{\mathrm{\prime }}(t)=3a^2{t}^2-8at+5=(at-1)(3at-5)$$ である。したがって極値を与える点は $$t=\frac{1}{a},t=\frac{5}{3a}$$ であり，$a>0$ なので $0<\frac{1}{a}<\frac{5}{3a}$ である。

また $$F(0)=-1,F(1)=(a-2{)}^2$$ である。3つの解を得るには，$F$ が最初の極大で正になり，次の極小で負になり，さらに2つの極値が $(0,1)$ に入る必要がある。

実際に極値を計算すると$$F\left(\frac{1}{a}\right)=\frac{2}{a}-1,F\left(\frac{5}{3a}\right)=\frac{50}{27a}-1$$である。したがって $$F\left(\frac{1}{a}\right)>0⟺a<2$$ であり，$$F\left(\frac{5}{3a}\right)<0⟺a>\frac{50}{27}$$である。このとき自動的に $\frac{5}{3a}<1$ も成り立つので，2つの極値はいずれも $(0,1)$ に入る。

逆に，$a\leqq 50\mathrm{/}27$ では極小値が負にならないか極値が区間内に入らず，$a\geqq 2$ では極大値が正にならないか重解が生じる。特に端点 $a=50\mathrm{/}27,2$ では相異なる3解にならない。

以上より求める範囲は $$\frac{50}{27}<a<2$$ である。

円との共有条件で $t=x^2$，さらに $u=at$ とおく。すると方程式は $a=u\{(u-2{)}^2+1\}$ となる。正の $u$ の1解は円上の2点に対応するので，三次関数 $H(u)=u\{(u-2{)}^2+1\}$ と横線 $y=a$ の正の交点数を調べればよい。極大値と極小値の間に横線があることから範囲を読む。

円との共有点では$$x^2+(a{x}^3-2x{)}^2=1$$である。$t=x^2$，さらに $u=at$ とおくと，$a>0$ より $t>0$ と $u>0$ は同値であり，$$t\{(at-2{)}^2+1\}=1$$は$$a=u\{(u-2{)}^2+1\}$$と書ける。逆にこの式を満たす正の $u$ から$$t=\frac{u}{a}=\frac{1}{(u-2{)}^2+1}$$が定まり，$0<t\leqq 1$ である。したがって正の $u$ の各解は $$x=\pm \sqrt{t}$$ という円上の相異なる2点に対応する。

そこで$$H(u)=u\{(u-2{)}^2+1\}=u^3-4u^2+5u(u>0)$$とおく。導関数は$$H^{\mathrm{\prime }}(u)=3u^2-8u+5=(u-1)(3u-5)$$であるから，$H$ は $u=1$ で極大，$u=5\mathrm{/}3$ で極小となる。その値は$$H(1)=2,H\left(\frac{5}{3}\right)=\frac{50}{27}$$である。また $H(0)=0$，$u\to \mathrm{\infty }$ で $H(u)\to \mathrm{\infty }$ である。

よって横線 $y=a$ が $u>0$ でグラフと相異なる3点で交わるための必要十分条件は$$\frac{50}{27}<a<2$$である。各交点が2個の共有点を与えるので，これが求める範囲である。