問題
を正の実数とする。座標平面上の曲線をで定める。原点を中心とする半径1の円との共有点の個数が6個であるようなの範囲を求めよ。
方針
解法1（平方を新変数にして三次方程式を調べる）
円との共有点では となる。式は だけで表せるので とおき， における3次方程式 の解の個数を調べる。1つの が の2点に対応するため，共有点6個は が に相異なる3解をもつことと同値である。導関数の2つの零点 が区間内にあり，極大値が正，極小値が負になる条件を端点の重解も含めて確認する。
解法2（積を新変数にして横線と比較する）
円との共有条件で ，さらに とおく。すると方程式は となる。正の の1解は円上の2点に対応するので，三次関数 と横線 の正の交点数を調べればよい。極大値と極小値の間に横線があることから範囲を読む。
解答
解法1（平方を新変数にして三次方程式を調べる）
とおく。円との共有点では であるから である。したがって とおくと，調べるべき方程式は である。 の1つの解に対して が得られ，この2つは異なる点を与える。よって共有点の個数が6個であることは， が に相異なる3個の解をもつことと同値である。
導関数は である。したがって極値を与える点は であり， なので である。
また である。3つの解を得るには， が最初の極大で正になり，次の極小で負になり，さらに2つの極値が に入る必要がある。
実際に極値を計算すると
である。したがって であり，
である。このとき自動的に も成り立つので，2つの極値はいずれも に入る。
逆に， では極小値が負にならないか極値が区間内に入らず， では極大値が正にならないか重解が生じる。特に端点 では相異なる3解にならない。
以上より求める範囲は である。
解法2（積を新変数にして横線と比較する）
円との共有点では
である。，さらに とおくと， より と は同値であり，
は
と書ける。逆にこの式を満たす正の から
が定まり， である。したがって正の の各解は という円上の相異なる2点に対応する。
そこで
とおく。導関数は
であるから， は で極大， で極小となる。その値は
である。また ， で である。
よって横線 が でグラフと相異なる3点で交わるための必要十分条件は
である。各交点が2個の共有点を与えるので，これが求める範囲である。
