問題
黒玉3個，赤玉4個，白玉5個が入っている袋から玉を1個ずつ取り出し，取り出した玉を順に横一列に12個すべて並べる。ただし，袋から個々の玉が取り出される確率は等しいものとする。
(1) どの赤玉も隣り合わない確率を求めよ。
(2) どの赤玉も隣り合わないとき，どの黒玉も隣り合わない条件付き確率を求めよ。
方針
解法1（標準解法）
個々の玉は同色内で区別しない色の並びに直して数える。(1) は黒白8個を先に並べ，9個のすき間から赤を入れる4か所を選ぶ。(2) は，赤が隣り合わない並びを作る同じ手順を母集団にし，先にできた黒白列の中で隣り合う黒黒の箇所数 によって分類する。黒黒の間には赤を必ず入れる必要があるので，残りの赤を他のすき間から選ぶ形で条件付きの個数を出す。
別解（隣接条件の包除原理）
同色の玉を一列に並べたときに生じる『内部の隣接結合』を包除原理で切る。(1) は赤の3本の結合，(2) の分子は赤の3本と黒の2本を同時に処理する。条件付き確率では，赤非隣接かつ黒非隣接の並び数を，赤非隣接の並び数で割る。
解答
解法1（標準解法）
(1)
色だけの並びで考える。12個の位置のうち赤玉4個の位置を選ぶ方法は，全体では 通りである。赤玉がどの2個も隣り合わないように4個の位置を選ぶには，赤以外の8個を先に置いて，その前後と間にできる9個のすき間から4個を選べばよい。したがってその数は 通りである。
黒玉3個，白玉5個の並び方 は，分子・分母で共通に掛かるので，求める確率 は
である。
(2)
赤玉が隣り合わない並びは，まず黒玉3個と白玉5個の列を作り，その9個のすき間から赤玉を入れる4か所を選ぶことで一意に作られる。したがって，条件付き確率の母集団の個数は である。
黒玉3個と白玉5個からなる長さ8の列で，隣り合う黒黒の箇所数を とする。 は黒がどの2個も隣り合わない場合で，5個の白の前後と間の6個のすき間から黒を置く3か所を選ぶから 通りである。 は3個の黒がひとかたまり になる場合で，このかたまりと5個の白を並べるから 通りである。全体は 通りなので， の列は 通りである。
赤玉を入れたあと黒玉も隣り合わないようにするには，もとの黒白列で黒黒が隣り合っている 箇所には，必ず赤玉を1個入れなければならない。残りの赤玉 個は，その 箇所を除いた 個のすき間から選んで入れる。よって条件を満たす並びの個数は である。したがって
である。
別解（隣接条件の包除原理）
同色の玉は区別しない色列として数える。各色の玉には，左から現れる順に赤 ，黒 ，白 と番号を付けることにする。この番号付けは各色列に対して一意である。赤には という3本，黒には という2本の隣接結合がある。選んだ結合を縮めて一つのかたまりにする包除原理を用いる。
(1)
全色列の数は
赤が隣り合わない色列の数は
よって
(2)
赤も黒も同色どうしが隣り合わない色列の数は，赤の結合を 本，黒の結合を 本縮める二重の包除により
ごとにまとめて計算すると
だから
条件『赤が隣り合わない』のもとでの確率なので
である。