東京大学 2026年度文理共通数学文科第2問・理科第2問解答・解説

問題

$n$ を正の整数とする。座標平面上の $3 n$ 個の点

(x, y) (x, y は整数, 1 ≦ x ≦ 3, 1 ≦ y ≦ n)

から相異なる3点を無作為に選ぶ。この3点が三角形の3頂点となる確率を $p_{n}$ とする。

(1) $p_{5}$ を求めよ。

(2) $m ≧ 2$ を整数とするとき， $p_{2 m}$ を求めよ。

出典：東京大学 2026年度前期日程第2次学力試験文理共通文科第2問・理科第2問

方針

3点が三角形を作らないのは，3点が一直線上に並ぶ場合だけである。一直線上の3点を，縦1列にある場合と，3つの列 $x = 1, 2, 3$ から1点ずつ選ぶ場合に分ける。後者は必ず $(1, y), (2, y + d), (3, y + 2 d)$ と表されるので，整数 $d$ ごとに取り得る $y$ の個数を数える。最後に全体の選び方から一直線上の場合を引いて確率を求める。

解答

(1)

$n = 5$ のとき，全15点から相異なる3点を選ぶ方法は $_{15} C_{3} = 455$ 通りである。三角形にならないのは3点が一直線上にある場合に限る。

3点が同じ縦列にある場合は $3 \cdot_{5} C_{3} = 30$ 通りである。これとは重ならない場合として3列から1点ずつ選ぶ。一直線上にあるための必要十分条件は中央列の点が両端の点の中点になることであり，3点は

(1, y), (2, y + d), (3, y + 2 d)

と表せる。固定した整数 $d$ に対して3つの $y$ 座標がすべて1以上5以下となる $y$ は $5 - 2∣ d ∣$ 個であり， $∣ d ∣ ≦ 2$ である。よってこの場合は

d = - 2 \sum 2 (5 - 2∣ d ∣) = 5 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = 13

通りである。したがって非三角形は $30 + 13 = 43$ 通りなので

p_{5} = 1 - \frac{43}{455} = \frac{412}{455}

である。

(2)

$n = 2 m$ とする。全事象は $_{6 m} C_{3} = m (6 m - 1) (6 m - 2)$ 通りである。同じ縦列に3点がある場合は $3 \cdot_{2 m} C_{3} = 2 m (2 m - 1) (m - 1)$ 通りである。

3列から1点ずつ選ぶ場合は(1)と同じ表示を使う。固定した $d$ に対する $y$ の個数は $2 m - 2∣ d ∣$ であり， $∣ d ∣ ≦ m - 1$ であるから

d = - (m - 1) \sum m - 1 (2 m - 2∣ d ∣) = 2 m + 2 d = 1 \sum m - 1 (2 m - 2 d) = 2 m^{2}

通りである。2つの場合は互いに排反なので，一直線上にある3点は

2 m (2 m - 1) (m - 1) + 2 m^{2} = 2 m (2 m^{2} - 2 m + 1)

通りである。ゆえに

p_{2 m} = 1 - \frac{2 m ( 2 m ^{2} - 2 m + 1 )}{m ( 6 m - 1 ) ( 6 m - 2 )} = 1 - \frac{2 ( 2 m ^{2} - 2 m + 1 )}{( 6 m - 1 ) ( 6 m - 2 )}

である。

東京大学 2026年度文理共通数学 文科第2問・理科第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

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文理共通数学文科第2問・理科第2問