横浜国立大学 2016年度 前期 数列理系数学 第1問

(1) $n=1$ とすると$$25=\frac{2}{3}\cdot 5a_2$$より $$a_2={\displaystyle \frac{15}{2}}$$ である。次に $n=2$ とすると$$25+{\left(\frac{15}{2}\right)}^2=\frac{2}{3}\cdot \frac{15}{2}{a}_3=5a_3$$より $$a_3={\displaystyle \frac{65}{4}}$$ である。

(2) 与式の左辺は正であるから，すべての $n$ について $a_n\mathrm{\ne }0$ である。$n+1$ の式から $n$ の式を引くと$$a_{n+1}^2=\frac{2}{3}{a}_{n+1}{a}_{n+2}-\frac{2}{3}{a}_n{a}_{n+1}$$である。$a_{n+1}\mathrm{\ne }0$ より$$a_{n+2}=a_n+\frac{3}{2}{a}_{n+1}$$を得る。

(3) 特性方程式は$$r^2=\frac{3}{2}r+1,2r^2-3r-2=0$$であるから，$$r=2,-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。したがって$$a_n=A{2}^{n-1}+B{(-\frac{1}{2})}^{n-1}$$とおける。$a_1=5$，$$a_2={\displaystyle \frac{15}{2}}$$ より$$A+B=5,2A-\frac{1}{2}B=\frac{15}{2}$$である。これを解いて $A=4,B=1$。よって$$a_n=2^{n+1}+{(-\frac{1}{2})}^{n-1}$$である。

(1) 初項条件から順に数値を決める。(2) 部分和を $S_n$ と書き，$S_{n+1}-S_n$ を取る。(3) 特性方程式を使わず，$a_{n+1}-2a_n$ と $a_{n+1}+{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n$ がそれぞれ等比数列になることを利用する。

(1) $n=1$ の条件から$$25=\frac{10}{3}{a}_2$$となるので，$$a_2=\frac{15}{2}\mathrm{.}$$さらに $n=2$ の条件から$$25+\frac{225}{4}=5a_3$$となるので，$$a_3=\frac{65}{4}\mathrm{.}$$(2)$$S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k^2=\frac{2}{3}{a}_n{a}_{n+1}$$とおく。$S_{n+1}-S_n=a_{n+1}^2$ だから，$$a_{n+1}^2=\frac{2}{3}{a}_{n+1}(a_{n+2}-a_n)\mathrm{.}$$一方，$S_n>0$ より $a_n{a}_{n+1}>0$ であり，特に $a_{n+1}\mathrm{\ne }0$ である。したがって$$a_{n+2}=a_n+\frac{3}{2}{a}_{n+1}\mathrm{.}$$(3) 次の2数列を考える。$$b_n=a_{n+1}-2a_n,c_n=a_{n+1}+\frac{1}{2}{a}_n\mathrm{.}$$(2) の漸化式から$$b_{n+1}=-\frac{1}{2}{b}_n,c_{n+1}=2c_n\mathrm{.}$$初期値は$$b_1=-\frac{5}{2},c_1=10$$であるから，$$b_n=-\frac{5}{2}{(-\frac{1}{2})}^{n-1},c_n=10\cdot 2^{n-1}\mathrm{.}$$ここで $c_n-b_n={\displaystyle \frac{5}{2}}{a}_n$ なので，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_n}& {\displaystyle =\frac{2}{5}(c_n-b_n)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4\cdot 2^{n-1}+{(-\frac{1}{2})}^{n-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2^{n+1}+{(-\frac{1}{2})}^{n-1}\mathrm{.}}\end{array}$$これが求める一般項である。