横浜国立大学 2022年度 前期文系数学 第1問

(1)
漸化式へ順に代入する。$$a_2=1+r+\frac{1}{r}{a}_1=r+2,$$$$a_3=2+r+\frac{1}{r}(a_2-1)=r+3+\frac{1}{r},$$$$a_4=3+r+\frac{1}{r}(a_3-2)=r+4+\frac{1}{r}+\frac{1}{r^2}\mathrm{.}$$(2)$$b_n=a_n-n+1$$とおくと $b_1=r$ であり、$n\geqq 2$ では$$b_n=r+\frac{1}{r}{b}_{n-1}\mathrm{.}$$これを繰り返すと$$b_n=r+1+\frac{1}{r}+\cdots +\frac{1}{r^{n-2}}=\sum _{j=0}^{n-1}{r}^{1-j}\mathrm{.}$$よって$$a_n=n-1+\sum _{j=0}^{n-1}{r}^{1-j}\mathrm{.}$$特に $r=1$ のときは $a_n=2n-1$ である。$r\mathrm{\ne }1$ のときは$$a_n=n-1+\frac{r^2(1-r^{-n})}{r-1}$$とも表せる。

(3)
$r={\displaystyle \frac{1}{2}}$ のとき$$a_n=n-1+\frac{2^n-1}{2}=n+2^{n-1}-\frac{3}{2}\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=1}^n{a}_k}& {\displaystyle =\sum _{k=1}^{n}k+\sum _{k=1}^n{2}^{k-1}-\frac{3}{2}n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{n(n+1)}{2}+(2^n-1)-\frac{3}{2}n\mathrm{.}}\end{array}$$ゆえに$$\sum _{k=1}^n{a}_k=2^n-1+\frac{n(n-2)}{2}\mathrm{.}$$

$b_n=a_n-n+1$ とした後、$r\mathrm{\ne }1$ では漸化式
$b_n=r+b_{n-1}\mathrm{/}r$ の定常値を求める。その定常値を引けば、差は公比 $1\mathrm{/}r$
の等比数列になる。$r=1$ は別に処理し、求めた式を $r=1\mathrm{/}2$ の和へつなぐ。

(1)
直接計算により$$a_2=r+2,a_3=r+3+\frac{1}{r},a_4=r+4+\frac{1}{r}+\frac{1}{r^2}\mathrm{.}$$(2)
$b_n=a_n-n+1$ とおけば$$b_n=r+\frac{1}{r}{b}_{n-1},b_1=r\mathrm{.}$$$r\mathrm{\ne }1$ とする。この漸化式の定常値 $B$ は$$B=r+\frac{1}{r}B$$を満たすから$$B=\frac{r^2}{r-1}\mathrm{.}$$したがって$$b_n-B=\frac{1}{r}(b_{n-1}-B)$$であり、$$b_n-B=r^{-(n-1)}(b_1-B)=-\frac{r^{2-n}}{r-1}\mathrm{.}$$よって$$a_n=n-1+\frac{r^2-r^{2-n}}{r-1}(r\mathrm{\ne }1)\mathrm{.}$$これは解法1の式と同じである。$r=1$ では
$b_n=b_{n-1}+1,b_1=1$ だから $b_n=n$、すなわち$$a_n=2n-1\mathrm{.}$$(3)
$r={\displaystyle \frac{1}{2}}$ を代入すると$$a_k=k+2^{k-1}-\frac{3}{2}\mathrm{.}$$したがって$$\sum _{k=1}^n{a}_k=\frac{n(n+1)}{2}+(2^n-1)-\frac{3}{2}n=2^n-1+\frac{n(n-2)}{2}\mathrm{.}$$