横浜国立大学 2022年度文系数学第1問解答・解説

問題

$r$ を0でない実数とする。数列 ${a_{n}}$ が以下をみたしている。

⎩ ⎨ ⎧ a_{1} = r, a_{n} = n - 1 + r + \frac{1}{r} (a_{n - 1} - n + 2) (n = 2, 3, 4, \dots)

次の問いに答えよ。

(1) $a_{2}, a_{3}, a_{4}$ を $r$ の式で表せ。

(2) $a_{n}$ を $n, r$ の式で表せ。

(3) $r = \frac{1}{2}$ のとき、 $\sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ を $n$ の式で表せ。

出典：横浜国立大学 2022年度前期文系第1問

方針

解法1（ずらした数列を有限和にする方法）

漸化式中の $a_{n - 1} - n + 2$ に合わせて $b_{n} = a_{n} - n + 1$ とおく。 $b_{n}$ は公比 $1/ r$ の項を順に足す形になるので、有限等比和から一般項を得る。最後に $r = 1/2$ を代入し、等比数列の和と自然数の和を別々に計算する。

解法2（定常値を引いて等比数列にする方法）

$b_{n} = a_{n} - n + 1$ とした後、 $r \neq = 1$ では漸化式 $b_{n} = r + b_{n - 1} / r$ の定常値を求める。その定常値を引けば、差は公比 $1/ r$ の等比数列になる。 $r = 1$ は別に処理し、求めた式を $r = 1/2$ の和へつなぐ。

解答

解法1（ずらした数列を有限和にする方法）

(1)

漸化式へ順に代入する。

a_{2} = 1 + r + \frac{1}{r} a_{1} = r + 2,

a_{3} = 2 + r + \frac{1}{r} (a_{2} - 1) = r + 3 + \frac{1}{r},

a_{4} = 3 + r + \frac{1}{r} (a_{3} - 2) = r + 4 + \frac{1}{r} + \frac{1}{r ^{2}} .

(2)

b_{n} = a_{n} - n + 1

とおくと $b_{1} = r$ であり、 $n ≧ 2$ では

b_{n} = r + \frac{1}{r} b_{n - 1} .

これを繰り返すと

b_{n} = r + 1 + \frac{1}{r} + \dots + \frac{1}{r ^{n - 2}} = j = 0 \sum n - 1 r^{1 - j} .

よって

a_{n} = n - 1 + j = 0 \sum n - 1 r^{1 - j} .

特に $r = 1$ のときは $a_{n} = 2 n - 1$ である。 $r \neq = 1$ のときは

a_{n} = n - 1 + \frac{r ^{2} ( 1 - r ^{- n} )}{r - 1}

とも表せる。

(3)

$r = \frac{1}{2}$ のとき

a_{n} = n - 1 + \frac{2 ^{n} - 1}{2} = n + 2^{n - 1} - \frac{3}{2} .

したがって

k = 1 \sum n a_{k} = k = 1 \sum n k + k = 1 \sum n 2^{k - 1} - \frac{3}{2} n = \frac{n ( n + 1 )}{2} + (2^{n} - 1) - \frac{3}{2} n .

ゆえに

k = 1 \sum n a_{k} = 2^{n} - 1 + \frac{n ( n - 2 )}{2} .

解法2（定常値を引いて等比数列にする方法）

(1)

直接計算により

a_{2} = r + 2, a_{3} = r + 3 + \frac{1}{r}, a_{4} = r + 4 + \frac{1}{r} + \frac{1}{r ^{2}} .

(2)

$b_{n} = a_{n} - n + 1$ とおけば

b_{n} = r + \frac{1}{r} b_{n - 1}, b_{1} = r .

$r \neq = 1$ とする。この漸化式の定常値 $B$ は

B = r + \frac{1}{r} B

を満たすから

B = \frac{r ^{2}}{r - 1} .

したがって

b_{n} - B = \frac{1}{r} (b_{n - 1} - B)

であり、

b_{n} - B = r^{- (n - 1)} (b_{1} - B) = - \frac{r ^{2 - n}}{r - 1} .

よって

a_{n} = n - 1 + \frac{r ^{2} - r ^{2 - n}}{r - 1} (r \neq = 1) .

これは解法1の式と同じである。 $r = 1$ では $b_{n} = b_{n - 1} + 1, b_{1} = 1$ だから $b_{n} = n$ 、すなわち

a_{n} = 2 n - 1 .

(3)

$r = \frac{1}{2}$ を代入すると

a_{k} = k + 2^{k - 1} - \frac{3}{2} .

したがって

k = 1 \sum n a_{k} = \frac{n ( n + 1 )}{2} + (2^{n} - 1) - \frac{3}{2} n = 2^{n} - 1 + \frac{n ( n - 2 )}{2} .

横浜国立大学 2022年度文系数学 第1問

問題

方針

解法1（ずらした数列を有限和にする方法）

解法2（定常値を引いて等比数列にする方法）

解答

解法1（ずらした数列を有限和にする方法）

(1)

(2)

(3)

解法2（定常値を引いて等比数列にする方法）

(1)

(2)

(3)

横浜国立大学 2022年度
文系数学第1問