横浜国立大学 2023年度 前期理系数学 第4問

(1) $$y=\sqrt{\alpha }$$とおくと、$y>0$であり$$y^4-7y-2=0$$である。左辺は$$y^4-7y-2=(y-2)(y^3+2y^2+4y+1)$$と因数分解できる。$y>0$では$y^3+2y^2+4y+1>0$であるから$y=2$のみが解である。したがって$\alpha =4$である。

(2)
数学的帰納法で示す。$a_1=1<4$である。$a_n<4$と仮定すると$$\sqrt{a_n}<2$$であるから$$a_{n+1}=\sqrt{2+7\sqrt{a_n}}<\sqrt{16}=4$$である。よってすべての正の整数$n$について$a_n<4$である。

(3)
$1\leqq x<4$とし、$$y=\sqrt{x}$$とおくと$1\leqq y<2$である。このとき$$y^4-7y-2=(y-2)(y^3+2y^2+4y+1)<0$$より$$x^2<2+7\sqrt{x}$$である。したがって$a_{n+1}>a_n$である。

よって$\{a_n\}$は単調増加で、上に4で有界であるから収束する。その極限を$L$とすると$$L=\sqrt{2+7\sqrt{L}}$$である。(1)と同じ因数分解により非負の解は$L=4$だけである。したがって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=4$$である。

固定点4を求めた後、$4-a_{n+1}$ を $4-a_n$ の倍として有理化する。その倍率を $1\mathrm{/}3$ 以下に抑え、上界と収束を同時に示す。

(1)
$y=\sqrt{\alpha }$ とおくと $y>\sqrt{2}$ で$$F(y)=y^4-7y-2=0.$$$y>\sqrt{2}$ では $F^{\mathrm{\prime }}(y)=4y^3-7>0$ だからFは狭義増加である。一方 $F(2)=0$ なので、この範囲の解は $y=2$ だけであり$$\alpha =4.$$(2)(3)
$1\leqq a_n<4$ と仮定すると $3\leqq a_{n+1}<4$ である。実際、漸化式を有理化すると$$4-a_{n+1}=\frac{16-(2+7\sqrt{a_n})}{4+a_{n+1}}=\frac{7(4-a_n)}{(2+\sqrt{a_n})(4+a_{n+1})}\mathrm{.}$$$a_n\geqq 1$、$a_{n+1}\geqq 3$ より$$0<4-a_{n+1}\leqq \frac{1}{3}(4-a_n)\mathrm{.}$$初項 $a_1=1$ から帰納的に $1\leqq a_n<4$ が成り立ち、さらに繰り返せば$$0<4-a_n\leqq 3{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}\mathrm{.}$$右辺は0へ収束するから、はさみうちにより$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=4.$$この方法では単調性を別に証明しなくても収束まで得られる。