横浜国立大学 2023年度理系数学第4問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ は

a_{1} = 1, a_{n + 1} = 2 + 7 a_{n} (n = 1, 2, 3, \dots)

をみたす。次の問いに答えよ。

(1) $α = 2 + 7 α$ をみたす2より大きい実数 $α$ がただ1つ存在することを示し、 $α$ を求めよ。

(2) (1)で求めた $α$ に対して、 $a_{n} < α$ （ $n = 1, 2, 3, \dots$ ）を示せ。

(3) 数列 ${a_{n}}$ の極限を調べ、収束する場合はその極限値を求めよ。

出典：横浜国立大学 2023年度前期理系第4問

方針

解法1

(1)は $y = α$ とおいて4次方程式に直し、因数分解で $y = 2$ だけを残す。(2)は帰納法で上界4を示す。(3)では $1 ≦ a_{n} < 4$ の範囲で $a_{n + 1} > a_{n}$ を示し、単調増加かつ上に有界な数列として極限を求める。

解法2（固定点からの誤差を縮める方法）

固定点4を求めた後、 $4 - a_{n + 1}$ を $4 - a_{n}$ の倍として有理化する。その倍率を $1/3$ 以下に抑え、上界と収束を同時に示す。

解答

解法1

(1)

$y = α$ とおくと、 $y > 0$ であり

y^{4} - 7 y - 2 = 0

である。左辺は

y^{4} - 7 y - 2 = (y - 2) (y^{3} + 2 y^{2} + 4 y + 1)

と因数分解できる。 $y > 0$ では $y^{3} + 2 y^{2} + 4 y + 1 > 0$ であるから $y = 2$ のみが解である。したがって $α = 4$ である。

(2)

数学的帰納法で示す。 $a_{1} = 1 < 4$ である。 $a_{n} < 4$ と仮定すると $a_{n} < 2$ であるから

a_{n + 1} = 2 + 7 a_{n} < 16 = 4

である。よってすべての正の整数 $n$ について $a_{n} < 4$ である。

(3)

$1 ≦ x < 4$ とし、 $y = x$ とおくと $1 ≦ y < 2$ である。このとき

y^{4} - 7 y - 2 = (y - 2) (y^{3} + 2 y^{2} + 4 y + 1) < 0

より $x^{2} < 2 + 7 x$ である。したがって $a_{n + 1} > a_{n}$ である。

よって ${a_{n}}$ は単調増加で、上に4で有界であるから収束する。その極限を $L$ とすると

L = 2 + 7 L

である。(1)と同じ因数分解により非負の解は $L = 4$ だけである。したがって

n \to \infty lim a_{n} = 4

である。

解法2（固定点からの誤差を縮める方法）

(1)

$y = α$ とおくと $y > 2$ で

F (y) = y^{4} - 7 y - 2 = 0.

$y > 2$ では $F^{'} (y) = 4 y^{3} - 7 > 0$ だからFは狭義増加である。一方 $F (2) = 0$ なので、この範囲の解は $y = 2$ だけであり

α = 4.

(2)(3)

$1 ≦ a_{n} < 4$ と仮定すると $3 ≦ a_{n + 1} < 4$ である。実際、漸化式を有理化すると

4 - a_{n + 1} = \frac{16 - ( 2 + 7 a _{n} )}{4 + a _{n + 1}} = \frac{7 ( 4 - a _{n} )}{( 2 + a _{n} ) ( 4 + a _{n + 1} )} .

$a_{n} ≧ 1$ 、 $a_{n + 1} ≧ 3$ より

0 < 4 - a_{n + 1} ≦ \frac{1}{3} (4 - a_{n}) .

初項 $a_{1} = 1$ から帰納的に $1 ≦ a_{n} < 4$ が成り立ち、さらに繰り返せば

0 < 4 - a_{n} ≦ 3 (\frac{1}{3})^{n - 1} .

右辺は0へ収束するから、はさみうちにより

n \to \infty lim a_{n} = 4.

この方法では単調性を別に証明しなくても収束まで得られる。

横浜国立大学 2023年度理系数学 第4問

問題

方針

解法1

解法2（固定点からの誤差を縮める方法）

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2（固定点からの誤差を縮める方法）

(1)

(2)(3)

横浜国立大学 2023年度
理系数学第4問