横浜国立大学 2018年度文系数学第1問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ は以下の条件をみたす。

(i) $a_{n} (n = 1, 2, 3, \dots)$ は $0, 1, 2$ のいずれかである。

(ii) $b_{n}$ は

b_{1} = 1, 3 b_{n + 1} = 5 a_{n} + b_{n} (n = 1, 2, 3, \dots)

をみたす整数である。

次の問いに答えよ。

(1) $b_{2}, b_{3}, b_{4}, b_{5}$ を求めよ。

(2) $\sum_{k = 1}^{n} a_{k} (n = 1, 2, 3, \dots)$ を求めよ。

出典：横浜国立大学 2018年度前期文系第1問

方針

解法1

$3 b_{n + 1} = 5 a_{n} + b_{n}$ が整数条件を含むので、合同式で $a_{n}$ を $b_{n}$ から一意に決める。実際には $a_{n} \equiv b_{n} (mod 3)$ となる。初期値から $b_{n}$ と $a_{n}$ の周期を出し、1周期の和で $\sum a_{k}$ を整理する。

解法2

まず $0 < b_{n} < 5$ が保たれることを示し、取り得る4状態 $b_{n} = 1, 2, 3, 4$ の遷移表を作る。表から4周期が一目で分かるので、各周期の $a_{n}$ の和と端数部分を分けて求める。

解答

解法1

(1)

$3 b_{n + 1} = 5 a_{n} + b_{n}$ より、 $5 a_{n} + b_{n}$ は $3$ で割り切れる。 $5 \equiv 2 (mod 3)$ であり、 $a_{n}$ は $0, 1, 2$ のいずれかであるから

a_{n} \equiv b_{n} (mod 3)

をみたす $a_{n}$ が一意に定まる。

$b_{1} = 1$ から順に求めると

a_{1} = 1, b_{2} = 2, a_{2} = 2, b_{3} = 4,

a_{3} = 1, b_{4} = 3, a_{4} = 0, b_{5} = 1

である。したがって

b_{2} = 2, b_{3} = 4, b_{4} = 3, b_{5} = 1

である。

(2)

上の計算から $b_{n}$ は

1, 2, 4, 3, 1, 2, 4, 3, \dots

を繰り返し、これに対応して $a_{n}$ は

1, 2, 1, 0, 1, 2, 1, 0, \dots

を繰り返す。よって $n = 4 q + r (q ≧ 0, r = 0, 1, 2, 3)$ と書くと、1周期の和は $4$ であるから

k = 1 \sum n a_{k} = ⎩ ⎨ ⎧ 4 q 4 q + 1 4 q + 3 4 q + 4 (r = 0), (r = 1), (r = 2), (r = 3)

である。

解法2

(1)

$0 < b_{n} < 5$ と仮定する。 $0 ≦ a_{n} ≦ 2$ より

0 < 5 a_{n} + b_{n} < 15

であり、 $3 b_{n + 1} = 5 a_{n} + b_{n}$ だから

0 < b_{n + 1} < 5.

$b_{1} = 1$ なので、帰納的にすべての $n$ で $b_{n}$ は $1, 2, 3, 4$ のいずれかである。

各状態で $5 a_{n} + b_{n}$ が $3$ の倍数となる $a_{n} \in {0, 1, 2}$ を選ぶと、遷移表は

b_{n} 1243 a_{n} 1210 b_{n + 1} 2431

となる。初期状態は $b_{1} = 1$ だから

(b_{2}, b_{3}, b_{4}, b_{5}) = (2, 4, 3, 1) .

(2)

遷移表より

(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}) = (1, 2, 1, 0)

が4項ごとに繰り返され、その和は $4$ である。 $n = 4 q + r$ 、 $0 ≦ r < 4$ とおくと、端数部分の和は順に

0, 1, 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 1 = 4

である。したがって

k = 1 \sum n a_{k} = ⎩ ⎨ ⎧ 4 q 4 q + 1 4 q + 3 4 q + 4 (r = 0), (r = 1), (r = 2), (r = 3)

を得る。

横浜国立大学 2018年度文系数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

横浜国立大学 2018年度
文系数学第1問