横浜国立大学 2018年度 前期文系数学 第1問

(1)
$3b_{n+1}=5a_n+b_n$ より、$5a_n+b_n$ は $3$ で割り切れる。$5\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ であり、$a_n$ は $0,1,2$ のいずれかであるから$$a_n\equiv b_n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$$をみたす $a_n$ が一意に定まる。

$b_1=1$ から順に求めると$$a_1=1,b_2=2,a_2=2,b_3=4,$$$$a_3=1,b_4=3,a_4=0,b_5=1$$である。したがって$$b_2=2,b_3=4,b_4=3,b_5=1$$である。

(2)
上の計算から $b_n$ は$$1,2,4,3,1,2,4,3,\dots$$を繰り返し、これに対応して $a_n$ は$$1,2,1,0,1,2,1,0,\dots$$を繰り返す。よって $$n=4q+r(q\geqq 0,r=0,1,2,3)$$ と書くと、1周期の和は $4$ であるから$$\sum _{k=1}^n{a}_k=\{\begin{array}{ll}4q& (r=0),\\ 4q+1& (r=1),\\ 4q+3& (r=2),\\ 4q+4& (r=3)\end{array}$$である。

まず $0<b_n<5$ が保たれることを示し、取り得る4状態 $b_n=1,2,3,4$ の遷移表を作る。表から4周期が一目で分かるので、各周期の $a_n$ の和と端数部分を分けて求める。

(1)

$0<b_n<5$ と仮定する。$0\leqq a_n\leqq 2$ より$$0<5a_n+b_n<15$$であり、$3b_{n+1}=5a_n+b_n$ だから$$0<b_{n+1}<5.$$$b_1=1$ なので、帰納的にすべての $n$ で $b_n$ は $1,2,3,4$ のいずれかである。

各状態で $5a_n+b_n$ が $3$ の倍数となる $a_n\in \{0,1,2\}$ を選ぶと、遷移表は$$\begin{array}{ccc}{b}_n& a_n& b_{n+1}\\ 1& 1& 2\\ 2& 2& 4\\ 4& 1& 3\\ 3& 0& 1\end{array}$$となる。初期状態は $b_1=1$ だから$$(b_2,b_3,b_4,b_5)=(2,4,3,1)\mathrm{.}$$(2)

遷移表より$$(a_1,a_2,a_3,a_4)=(1,2,1,0)$$が4項ごとに繰り返され、その和は $4$ である。$n=4q+r$、$0\leqq r<4$ とおくと、端数部分の和は順に$$0,1,1+2=3,1+2+1=4$$である。したがって$$\sum _{k=1}^n{a}_k=\{\begin{array}{ll}4q& (r=0),\\ 4q+1& (r=1),\\ 4q+3& (r=2),\\ 4q+4& (r=3)\end{array}$$を得る。