横国 2017年度理系数学第4問｜問題・解答・解説

方針

初めの数項を計算して $a_{n + 1} = 1 / (b_{1} b_{2} \dots b_{n})$ という形を予想する。帰納法でこれを示すと、 $b_{n} = b_{1} b_{2} \dots b_{n - 1} + 1$ も従い、(2) と (3) はすぐに求まる。

解答

(1)
$a_{1} = 1$ であるから、 $1 / a_{1} = 1$ より $b_{1} = 2$ である。したがって $a_{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ である。次に $1 / a_{2} = 2$ より $b_{2} = 3$ であり、 $a_{3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ である。さらに $1 / a_{3} = 6$ より $b_{3} = 7$ である。

(2)
数学的帰納法で $a_{n + 1} = \frac{1}{b_{1} b_{2} \dots b_{n}}$ を示す。 $n = 1$ では $a_{2} = 1 / 2 = 1 / b_{1}$ で成り立つ。 $a_{n} = 1 / (b_{1} b_{2} \dots b_{n - 1})$ とする。このとき $\frac{1}{a_{n}} = b_{1} b_{2} \dots b_{n - 1}$ であるから、 $b_{n}$ はこれより大きい最小の自然数、すなわち $b_{n} = b_{1} b_{2} \dots b_{n - 1} + 1$ である。よって $a_{n + 1} = a_{n} - \frac{1}{b_{n}} = \frac{1}{b_{1} \dots b_{n - 1}} - \frac{1}{b_{n}} = \frac{1}{b_{1} b_{2} \dots b_{n}}$ である。したがってすべての $n$ で成り立つ。

よって $b_{1} b_{2} \dots b_{n} a_{n + 1} = 1$ である。

(3)
漸化式 $a_{n + 1} = a_{n} - 1 / b_{n}$ より $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{b_{k}} = a_{1} - a_{n + 1} = 1 - a_{n + 1}$ である。(2)より $a_{n + 1} = 1 / (b_{1} b_{2} \dots b_{n})$ であり、分母は限りなく大きくなるから $a_{n + 1} \to 0$ である。したがって $\lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{b_{k}} = 1$ である。

別解

解法2

方針

$1 / a_{n}$ が整数であることを保つ不変量を先に示す。 $c_{n} = 1 / a_{n}$ とおけば $b_{n} = c_{n} + 1$ ， $c_{n + 1} = c_{n} (c_{n} + 1)$ となり，積と和が直接求まる。

解答

(1) $c_{n} = 1 / a_{n}$ とおく。 $c_{1} = 1$ なので $b_{1} = 2, a_{2} = \frac{1}{2}, b_{2} = 3, a_{3} = \frac{1}{6}, b_{3} = 7.$ (2) $c_{n}$ が自然数なら， $b_{n}$ は $c_{n}$ より大きい最小の自然数だから $b_{n} = c_{n} + 1.$ また $a_{n + 1} = \frac{1}{c_{n}} - \frac{1}{c_{n} + 1} = \frac{1}{c_{n} (c_{n} + 1)}$ より $c_{n + 1} = c_{n} b_{n} .$ $c_{1} = 1$ なので繰り返すと $c_{n + 1} = b_{1} b_{2} \dots b_{n} .$ したがって $b_{1} b_{2} \dots b_{n} a_{n + 1} = 1.$ (3) 漸化式を足すと $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{b_{k}} = a_{1} - a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{c_{n + 1}} .$ $c_{n + 1}$ は少なくとも毎回2倍になるので無限大へ発散する。ゆえに極限は $1.$

総評

難度5、計算量5。想定時間は15分程度。初期計算から積の逆数という構造を見抜くと、帰納法で一気に整理できる。 $b_{n}$ が「より大きい最小の自然数」であるため、 $1 / a_{n}$ が整数になることを示してから $b_{n} = 1 / a_{n} + 1$ とするのが大切である。

出典: 横浜国立大学 2017年度前期数学第7問（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

横浜国立大学 2017年度 前期理系数学 第4問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

横浜国立大学 2017年度前期理系数学第4問