横浜国立大学 2016年度 前期理系数学 第3問

(1) $G$ は三角形 $ABC$ の重心であるから$$\overrightarrow{OG}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3},\overrightarrow{OP}=2(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$$である。$Q$ は直線 $OP$ 上にあるので$$\overrightarrow{OQ}=2t(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$$とおく。一方，$Q$ は平面 $ADE$ 上にあるから$$\overrightarrow{OQ}=\vec{a}+u(2\vec{b}-\vec{a})+v(3\vec{c}-\vec{a})=(1-u-v)\vec{a}+2u\vec{b}+3v\vec{c}$$と表せる。係数比較により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 2t}& {\displaystyle =1-u-v,}\\ {\displaystyle 2t}& {\displaystyle =2u,}\\ {\displaystyle 2t}& {\displaystyle =3v}\end{array}$$である。したがって $$u=t,v={\displaystyle \frac{2t}{3}}$$ であり，$$2t=1-t-{\displaystyle \frac{2t}{3}}$$ から $$t={\displaystyle \frac{3}{11}}$$。よって$$\overrightarrow{OQ}=\frac{6}{11}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$$である。

(2) (1) より，三角形 $ADE$ において$$Q=\frac{6}{11}A+\frac{3}{11}D+\frac{2}{11}E$$と表される。したがって，辺 $DE$ を底辺としたときの $Q$ の高さは，$A$ の高さの ${\displaystyle \frac{6}{11}}$ 倍である。よって$$\frac{S_2}{S_1}=\frac{6}{11}$$であり，求める比は$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{11}{6}$$である。

(3) $Q$ は $OP$ を $OQ:QP=3:8$ に内分する。平面 $ADE$ は $QDE$ を含むので，$P$ から平面 $ADE$ までの距離と $O$ から平面 $ADE$ までの距離の比は$$PQ:OQ=8:3$$である。また (2) より $S_2\mathrm{/}{S}_1=6\mathrm{/}11$。したがって$$\frac{V_2}{V_1}=\frac{S_2}{S_1}\cdot \frac{8}{3}=\frac{6}{11}\cdot \frac{8}{3}=\frac{16}{11}$$である。

斜交座標で平面 $ADE$ を切片形にし，交点・面積比・体積比を同じ一次式から求める。

$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ は四面体の3辺を表すので一次独立である。位置ベクトル$$x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}$$をもつ点を斜交座標 $(x,y,z)$ で表す。この座標で$$A=(1,0,0),D=(0,2,0),E=(0,0,3)$$だから，平面 $ADE$ の方程式は切片形により$$\begin{array}{cccc}& x+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1.& & \text{(*)}\end{array}$$(1) $G$ は $ABC$ の重心なので$$P=(2,2,2)\mathrm{.}$$直線 $OP$ 上の点を $(2t,2t,2t)$ とし，これを (*) に代入すると$$2t+t+\frac{2t}{3}=1.$$よって $t={\displaystyle \frac{3}{11}}$ であり，$$Q=(\frac{6}{11},\frac{6}{11},\frac{6}{11})\mathrm{.}$$したがって$$\overrightarrow{OQ}=\frac{6}{11}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\mathrm{.}$$(2) 頂点 $A,D,E$ に関する $Q$ の重心座標は$$Q=\frac{6}{11}A+\frac{3}{11}D+\frac{2}{11}E$$である。辺 $DE$ を共通の底辺とすると，$Q$ の高さは $A$ の高さの $6\mathrm{/}11$ 倍だから，$$\frac{S_2}{S_1}=\frac{6}{11}\mathrm{.}$$ゆえに$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{11}{6}\mathrm{.}$$(3) (*) の左辺を $L(x,y,z)$ とする。平行な2平面までの符号付き距離は $L-1$ に比例する。ここで$$L(O)=0,L(P)=2+1+\frac{2}{3}=\frac{11}{3}$$だから，$O,P$ から平面 $ADE$ までの距離の比は$$1:(\frac{11}{3}-1)=1:\frac{8}{3}\mathrm{.}$$したがって，底面積比も合わせると$$\frac{V_2}{V_1}=\frac{S_2}{S_1}\cdot \frac{8}{3}=\frac{6}{11}\cdot \frac{8}{3}=\frac{16}{11}\mathrm{.}$$