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横浜国立大学 2017年度 前期 ベクトル・図形と方程式理系数学 第3問

空間に2つの定点 O,A があり、∣OA→∣=2 をみたしている。また、2点 P,Q は次の条件をみたしながら動く。∣OP→∣≦5,OP→⋅OA→=6∣OQ→∣=5,OQ→⋅OA→=−2ただし、OP→⋅OA→ は OP→ と OA→ の内積を表す。次の問いに答えよ。

(1) ∣OP→∣ の最小値を求めよ。

(2) ∣PQ→∣ のとり得る値の範囲を求めよ。

(3) 線分 PQ が通過してできる部分の体積を求めよ。

難易度7/ 10計算量7/ 10目安25分

ベクトル、図形と方程式、積分　座標設定、ベクトル成分計算、体積計算、範囲評価

方針

OA→ 方向を x 軸にとり、A=(2,0,0) とする。すると P は平面 x=3 上の半径4の円板、Q は平面 x=−1 上の半径2の円周を動く。(3) は x 座標ごとの断面を考え、円周と円板を同じ比で結ぶことでできる円環または円板の面積を積分する。

解答

(1)
OA→ の方向を x 軸にとり、O=(0,0,0)、A=(2,0,0) とする。P=(x,y,z) とするとOP→⋅OA→=2x=6より x=3 である。また ∣OP→∣≦5 よりy2+z2≦16である。したがって ∣OP→∣ の最小値は y=z=0 のときで3である。

(2)
同様に Q=(x,y,z) とすると2x=−2,x2+y2+z2=5より、Q は平面 x=−1 上の円y2+z2=4を動く。

P の yz 平面成分は半径4以下、Q の yz 平面成分は半径2である。したがってその差の長さは 0 以上 6 以下のすべての値をとる。x 座標の差は常に 4 であるから∣PQ∣2=16+d2(0≦d≦6)である。よって4≦∣PQ∣≦213である。

(3)
線分 PQ 上の点で、Q から P へ向かう比を s:1−s (0≦s≦1) とする。この点の x 座標は−1+4sである。

この断面で、Q 由来の yz 成分は半径 2(1−s) の円周上、P 由来の成分は半径 4s 以下の円板内を動く。したがって断面は、0≦s<1/3 では外半径 2+2s、内半径 2−6s の円環、1/3≦s≦1 では半径 2+2s の円板である。

よって断面積は{π{(2+2s)2−(2−6s)2}=32πs(1−s)(0≦s<1/3),π(2+2s)2=4π(1+s)2(1/3≦s≦1)である。dx=4ds だから、求める体積は4∫01/332πs(1−s) ds+4∫1/314π(1+s)2 ds=320π9である。

別解

解法2

方針

OA→ 方向と垂直方向へ直交分解する。線分の各断面は，半径2の円周と半径4の円板の重み付き和であり，半径の取り得る区間から円環・円板を判定する。

解答

OA→ 方向を x 軸とするとP=(3,p),∣p∣≦4,Q=(−1,q),∣q∣=2.(1)∣OP∣2=9+∣p∣2より最小値は 3 である。

(2) ∣PQ∣2=16+∣p−q∣2.円板内の p と半径2の円周上の q の差の長さは0から6までを連続に動く。よって4≦∣PQ∣≦213.(3) Q から P へ比 s:1−s の点を取ると，x=−1+4s で，垂直成分は(1−s)q+sp.その半径はmax⁡{0,2(1−s)−4s}≦r≦2(1−s)+4s.したがって s<1/3 では内半径 2−6s，外半径 2+2s の円環，s≧1/3 では半径 2+2s の円板となる。dx=4ds よりV=4∫01/3π{(2+2s)2−(2−6s)2} ds+4∫1/31π(2+2s)2 ds=320π9.

総評

難度7、計算量7。想定時間は25分程度。座標設定で P が円板、Q が円周を動くことを読み取るのが出発点である。(3) は断面が途中まで円環、途中から円板に変わるため、s=1/3 で積分を分ける判断が重要になる。

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出典: 横浜国立大学 2017年度 前期 数学 第6問（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。