(2) Q が球面 S 上にある条件は(ta)2+{2+t(b−2)}2+(2−2t−1)2=1である。整理すると{a2+(b−2)2+4}t2+(4b−12)t+4=0となる。直線 AP が球面と共有点をもつための条件は、この t の2次方程式が実数解をもつことであるから、判別式より(4b−12)2−16{a2+(b−2)2+4}≧0である。これを整理してa2+2b≦1を得る。
よって求める存在範囲は、ab 平面において放物線 b=(1−a2)/2 上およびその下側である。
別解
解法2
方針
球の中心 B と直線 AP の距離を、直線上の点 A+t(P−A) までの距離の最小値として求める。その最小値が球の半径以下である条件を平方完成から導く。
解答
(1)
直線上の点はQ=A+t(P−A)=(ta,2+t(b−2),2−2t)だからOQ=(ta,2+t(b−2),2−2t).(2)v=P−A=(a,b−2,−2),A−B=(0,2,1)とおく。球の中心 B から直線上の点 A+tv までの距離の2乗はD(t)=∣A−B+tv∣2.ここで∣v∣2=a2+(b−2)2+4,(A−B)⋅v=2b−6だから、平方完成によりtminD(t)=5−a2+(b−2)2+4(2b−6)2.直線が半径 1 の球面と共有点をもつ条件は、中心と直線の距離が 1 以下であることなので5−a2+(b−2)2+4(2b−6)2≦1.分母は正であり、整理すると4{a2+(b−2)2+4}≦(2b−6)2すなわちa2+2b≦1.したがって、存在範囲は放物線b=21−a2の周上および下側である。
総評
難度5、計算量5。想定時間は15分程度。直線と球面の交点条件を t の2次方程式に落とす標準問題である。展開後に判別式を整理すると大きく簡約されるため、b の一次式まで正確に計算することが得点の分かれ目になる。別解では中心と直線の最短距離を平方完成で求めるため、判別式の幾何的な意味も確認できる。
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