横浜国立大学 2018年度文系数学第2問解答・解説

問題

$O$ を原点とする $x y z$ 空間に点 $A (0, 2, 2)$ 、および中心を点 $B (0, 0, 1)$ とする半径 $1$ の球面 $S$ がある。平面 $z = 0$ 上の点 $P (a, b, 0)$ を考える。次の問いに答えよ。

(1) 直線 $A P$ 上の点 $Q$ に対して $A Q = t A P$ と表すとき、 $O Q$ を $a, b, t$ を用いて表せ。

(2) 直線 $A P$ が球面 $S$ と共有点をもつとき、点 $P$ の存在範囲を $ab$ 平面上に図示せよ。

出典：横浜国立大学 2018年度前期文系第2問

方針

解法1

まず $Q = A + t (P - A)$ とおいて座標表示する。球面との共有点条件は、 $Q$ が球面上にあるような実数 $t$ が存在することなので、 $t$ の2次方程式の判別式が0以上である条件に直す。

解法2

球の中心 $B$ と直線 $A P$ の距離を、直線上の点 $A + t (P - A)$ までの距離の最小値として求める。その最小値が球の半径以下である条件を平方完成から導く。

解答

解法1

(1)

$P - A = (a, b - 2, - 2)$ であるから

Q = A + t (P - A) = (t a, 2 + t (b - 2), 2 - 2 t)

である。したがって

O Q = (t a, 2 + t (b - 2), 2 - 2 t)

である。

(2)

$Q$ が球面 $S$ 上にある条件は

(t a)^{2} + {2 + t (b - 2)}^{2} + (2 - 2 t - 1)^{2} = 1

である。整理すると

{a^{2} + (b - 2)^{2} + 4} t^{2} + (4 b - 12) t + 4 = 0

となる。直線 $A P$ が球面と共有点をもつための条件は、この $t$ の2次方程式が実数解をもつことであるから、判別式より

(4 b - 12)^{2} - 16 {a^{2} + (b - 2)^{2} + 4} ≧ 0

である。これを整理して

a^{2} + 2 b ≦ 1

を得る。

よって求める存在範囲は、 $ab$ 平面において放物線 $b = (1 - a^{2}) /2$ 上およびその下側である。

解法2

(1)

直線上の点は

Q = A + t (P - A) = (t a, 2 + t (b - 2), 2 - 2 t)

だから

O Q = (t a, 2 + t (b - 2), 2 - 2 t) .

(2)

v = P - A = (a, b - 2, - 2), A - B = (0, 2, 1)

とおく。球の中心 $B$ から直線上の点 $A + t v$ までの距離の2乗は

D (t) = ∣ A - B + t v ∣^{2} .

ここで

∣ v ∣^{2} = a^{2} + (b - 2)^{2} + 4, (A - B) \cdot v = 2 b - 6

だから、平方完成により

t min D (t) = 5 - \frac{( 2 b - 6 ) ^{2}}{a ^{2} + ( b - 2 ) ^{2} + 4} .

直線が半径 $1$ の球面と共有点をもつ条件は、中心と直線の距離が $1$ 以下であることなので

5 - \frac{( 2 b - 6 ) ^{2}}{a ^{2} + ( b - 2 ) ^{2} + 4} ≦ 1.

分母は正であり、整理すると

4 {a^{2} + (b - 2)^{2} + 4} ≦ (2 b - 6)^{2}

すなわち

a^{2} + 2 b ≦ 1.

したがって、存在範囲は放物線

b = \frac{1 - a ^{2}}{2}

の周上および下側である。

横浜国立大学 2018年度文系数学 第2問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

横浜国立大学 2018年度
文系数学第2問