横浜国立大学 2018年度 前期理系数学 第2問

(1)
$P-A=(a-2,b,1)$ であるから$$Q=A+t(P-A)=(2+t(a-2),tb,-1+t)$$である。したがって$$\overrightarrow{OQ}=(2+t(a-2),tb,-1+t)$$である。

(2)
$Q$ が球面 $S$ 上にある条件は$$\{2+t(a-2){\}}^2+(tb{)}^2+(-1+t-1{)}^2=2$$である。整理すると$$\{(a-2{)}^2+b^2+1\}{t}^2+(4a-12)t+6=0$$となる。実数 $t$ が存在する条件は判別式が0以上であることだから$$(4a-12{)}^2-24\{(a-2{)}^2+b^2+1\}\geqq 0$$であり、整理して$$a^2+3b^2\leqq 3$$を得る。よって存在範囲は楕円 $a^2+3b^2=3$ の周上および内部である。

(3)
直線 $AP$ 上で $x=-1$ となるには$$2+t(a-2)=-1$$であり、$t=3\mathrm{/}(2-a)$ である。この点が $T$ 上にある条件は、平面 $x=-1$ 上で$$y^2+(z-1{)}^2=1$$をみたすことである。したがって$${\left(\frac{3b}{2-a}\right)}^2+{(\frac{3}{2-a}-2)}^2=1$$である。両辺に $(2-a{)}^2$ を掛けて整理すると$$9b^2+(2a-1{)}^2=(2-a{)}^2$$すなわち$$a^2+3b^2=1$$である。よって求める存在範囲は楕円 $a^2+3b^2=1$ の周上である。

(2) は球の中心から直線 $AP$ までの最短距離を平方完成で求める。(3)は切り口の円 $T$ 上の点を角度 $\theta$ で表し、点 $A$ からその点へ引いた直線と $z=0$ の交点を直接パラメータ表示する。

(1) $$Q=A+t(P-A)=(2+t(a-2),tb,-1+t)$$より$$\overrightarrow{OQ}=(2+t(a-2),tb,-1+t)\mathrm{.}$$(2)$$\mathit{v}=P-A=(a-2,b,1),A-B=(2,0,-2)$$とおく。中心 $B$ から直線上の点 $A+t\mathit{v}$ までの距離の2乗は$$D(t)=\mid A-B+t\mathit{v}{\mid }^2\mathrm{.}$$ここで$$\mid \mathit{v}{\mid }^2=(a-2{)}^2+b^2+1,(A-B)\cdot \mathit{v}=2a-6$$だから$$\underset{t}{\min }D(t)=8-\frac{(2a-6{)}^2}{(a-2{)}^2+b^2+1}\mathrm{.}$$半径が $\sqrt{2}$ なので、共有点がある条件は$$8-\frac{(2a-6{)}^2}{(a-2{)}^2+b^2+1}\leqq 2.$$分母は正であるから、整理して$$6\{(a-2{)}^2+b^2+1\}\leqq (2a-6{)}^2$$すなわち$$a^2+3b^2\leqq 3.$$(3)

円 $T$ 上の点を$$R=(-1,\cos \theta ,1+\sin \theta )$$と表す。直線 $AR$ 上の点は$$A+s(R-A)$$であり、その $z$ 座標が $0$ となるのは$$-1+s(2+\sin \theta )=0,s=\frac{1}{2+\sin \theta }$$のときである。したがって交点 $P(a,b,0)$ は$$a=2-\frac{3}{2+\sin \theta }=\frac{1+2\sin \theta }{2+\sin \theta },b=\frac{\cos \theta }{2+\sin \theta }\mathrm{.}$$ここから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a^2+3b^2}& {\displaystyle =\frac{(1+2\sin \theta {)}^2+3{\cos }^2\theta }{(2+\sin \theta {)}^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1.}\end{array}$$逆に $a^2+3b^2=1$ を満たす点では $a\mathrm{\ne }2$ であり$$\sin \theta =\frac{2a-1}{2-a},\cos \theta =\frac{3b}{2-a}$$とおくと、楕円の式から $${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$$ が成り立つ。よってこの楕円上の全点が実現する。

したがって、(2)の存在範囲は外側の楕円の周上および内部、(3)の存在範囲は内側の楕円の周上である。