横浜国立大学 2018年度理系数学第2問解答・解説

問題

$O$ を原点とする $x y z$ 空間に点 $A (2, 0, - 1)$ 、および中心を点 $B (0, 0, 1)$ とする半径 $2$ の球面 $S$ がある。平面 $z = 0$ 上の点 $P (a, b, 0)$ を考える。次の問いに答えよ。

(1) 直線 $A P$ 上の点 $Q$ に対して $A Q = t A P$ と表すとき、 $O Q$ を $a, b, t$ を用いて表せ。

(2) 直線 $A P$ が球面 $S$ と共有点をもつとき、点 $P$ の存在範囲を $ab$ 平面上に図示せよ。

(3) 球面 $S$ と平面 $x = - 1$ の共通部分を $T$ とする。直線 $A P$ が $T$ と共有点をもつとき、点 $P$ の存在範囲を $ab$ 平面上に図示せよ。

出典：横浜国立大学 2018年度前期理系第2問

方針

解法1

(1) は $Q = A + t (P - A)$ で表す。(2) は球面との交点条件を $t$ の2次方程式の実数解条件に直す。(3) は直線上で $x = - 1$ となる $t$ を先に求め、その点が円 $T$ 上にある条件を $a, b$ に直す。

解法2

(2)は球の中心から直線 $A P$ までの最短距離を平方完成で求める。(3)は切り口の円 $T$ 上の点を角度 $θ$ で表し、点 $A$ からその点へ引いた直線と $z = 0$ の交点を直接パラメータ表示する。

解答

解法1

(1)

$P - A = (a - 2, b, 1)$ であるから

Q = A + t (P - A) = (2 + t (a - 2), t b, - 1 + t)

である。したがって

O Q = (2 + t (a - 2), t b, - 1 + t)

である。

(2)

$Q$ が球面 $S$ 上にある条件は

{2 + t (a - 2)}^{2} + (t b)^{2} + (- 1 + t - 1)^{2} = 2

である。整理すると

{(a - 2)^{2} + b^{2} + 1} t^{2} + (4 a - 12) t + 6 = 0

となる。実数 $t$ が存在する条件は判別式が0以上であることだから

(4 a - 12)^{2} - 24 {(a - 2)^{2} + b^{2} + 1} ≧ 0

であり、整理して

a^{2} + 3 b^{2} ≦ 3

を得る。よって存在範囲は楕円 $a^{2} + 3 b^{2} = 3$ の周上および内部である。

(3)

直線 $A P$ 上で $x = - 1$ となるには

2 + t (a - 2) = - 1

であり、 $t = 3/ (2 - a)$ である。この点が $T$ 上にある条件は、平面 $x = - 1$ 上で

y^{2} + (z - 1)^{2} = 1

をみたすことである。したがって

(\frac{3 b}{2 - a})^{2} + (\frac{3}{2 - a} - 2)^{2} = 1

である。両辺に $(2 - a)^{2}$ を掛けて整理すると

9 b^{2} + (2 a - 1)^{2} = (2 - a)^{2}

すなわち

a^{2} + 3 b^{2} = 1

である。よって求める存在範囲は楕円 $a^{2} + 3 b^{2} = 1$ の周上である。

解法2

(1)

Q = A + t (P - A) = (2 + t (a - 2), t b, - 1 + t)

より

O Q = (2 + t (a - 2), t b, - 1 + t) .

(2)

v = P - A = (a - 2, b, 1), A - B = (2, 0, - 2)

とおく。中心 $B$ から直線上の点 $A + t v$ までの距離の2乗は

D (t) = ∣ A - B + t v ∣^{2} .

ここで

∣ v ∣^{2} = (a - 2)^{2} + b^{2} + 1, (A - B) \cdot v = 2 a - 6

だから

t min D (t) = 8 - \frac{( 2 a - 6 ) ^{2}}{( a - 2 ) ^{2} + b ^{2} + 1} .

半径が $2$ なので、共有点がある条件は

8 - \frac{( 2 a - 6 ) ^{2}}{( a - 2 ) ^{2} + b ^{2} + 1} ≦ 2.

分母は正であるから、整理して

6 {(a - 2)^{2} + b^{2} + 1} ≦ (2 a - 6)^{2}

すなわち

a^{2} + 3 b^{2} ≦ 3.

(3)

円 $T$ 上の点を

R = (- 1, cos θ, 1 + sin θ)

と表す。直線 $A R$ 上の点は

A + s (R - A)

であり、その $z$ 座標が $0$ となるのは

- 1 + s (2 + sin θ) = 0, s = \frac{1}{2 + sin θ}

のときである。したがって交点 $P (a, b, 0)$ は

a = 2 - \frac{3}{2 + sin θ} = \frac{1 + 2 sin θ}{2 + sin θ}, b = \frac{cos θ}{2 + sin θ} .

ここから

a^{2} + 3 b^{2} = \frac{( 1 + 2 sin θ ) ^{2} + 3 cos ^{2} θ}{( 2 + sin θ ) ^{2}} = 1.

逆に $a^{2} + 3 b^{2} = 1$ を満たす点では $a \neq = 2$ であり

sin θ = \frac{2 a - 1}{2 - a}, cos θ = \frac{3 b}{2 - a}

とおくと、楕円の式から $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ が成り立つ。よってこの楕円上の全点が実現する。

したがって、(2)の存在範囲は外側の楕円の周上および内部、(3)の存在範囲は内側の楕円の周上である。

横浜国立大学 2018年度理系数学 第2問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

横浜国立大学 2018年度
理系数学第2問