横浜国立大学 2016年度 前期理系数学 第4問

$C_1$ 上の $x=t(t>0)$ における接線は$$y=(\log t+1)x-t$$である。また，$C_2$ 上の $x=s$ における接線は$$y=2asx-a{s}^2$$である。両者が一致する条件は$$\log t+1=2as,t=a{s}^2$$である。$u=as$ とおくと $t=u^2\mathrm{/}a$ であり，条件は$$\log \frac{u^2}{a}+1=2u$$すなわち$$2\log \mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }-2u+1=\log a(u\mathrm{\ne }0)$$となる。

$\varphi (u)=2\log \mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }-2u+1$ とおく。$u<0$ では$${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(u)=\frac{2}{u}-2<0$$であり，$u\to -\mathrm{\infty }$ で $\varphi (u)\to \mathrm{\infty }$，$u\to 0^{-}$ で $\varphi (u)\to -\mathrm{\infty }$ である。したがって負の解は常に1個ある。

次に $u>0$ では $${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(u)={\displaystyle \frac{2}{u}}-2$$ であるから，$0<u<1$ で増加し，$u>1$ で減少する。最大値は$$\varphi (1)=-1$$である。また $u\to 0^{+}$ と $u\to \mathrm{\infty }$ のどちらでも $\varphi (u)\to -\mathrm{\infty }$ である。よって正の解は，$\log a<-1$ のとき2個，$\log a=-1$ のとき1個，$\log a>-1$ のとき0個である。

以上より，共通接線の本数は$$\{\begin{array}{ll}3& (0<a<e^{-1}),\\ 2& (a=e^{-1}),\\ 1& (a>e^{-1})\end{array}$$である。

$C_1$ 上の接点だけを $t$ とおき，その接線と放物線 $C_2$ の交点方程式が重解をもつ条件を使う。これにより $a=F(t)$ と定数分離し，$F$ の増減から本数を数える。

$C_1$ 上の $x=t(t>0)$ における接線は$$y=(\log t+1)x-t$$である。この直線と $C_2:y=a{x}^2$ の交点は$$a{x}^2-(\log t+1)x+t=0$$をみたす。両者が接するための必要十分条件は，この二次方程式の判別式が $0$ となることである。よって$$(\log t+1{)}^2-4at=0,$$すなわち$$\begin{array}{cccc}& a=F(t):=\frac{(\log t+1{)}^2}{4t}(t>0)\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$1つの $t$ から接線は一意に定まるため，共通接線の本数は (1) の正の解の個数に等しい。

微分すると$$F^{\mathrm{\prime }}(t)=\frac{(\log t+1)(1-\log t)}{4t^2}\mathrm{.}$$また$$F(e^{-1})=0,F(e)=\frac{1}{e},$$であり，端での様子は$$\underset{t\to +0}{\lim }F(t)=+\mathrm{\infty },\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }F(t)=0$$である。後者は問題文で与えられた極限から従う。以上より $F$ は$$\begin{array}{ccccc}t& (0,e^{-1})& e^{-1}& (e^{-1},e)& (e,\mathrm{\infty })\\ F& +\mathrm{\infty }\searrow 0& 0& 0\nearrow e^{-1}& e^{-1}\searrow 0\end{array}$$と変化する。

したがって，水平線 $y=a(a>0)$ との交点数は，$$\{\begin{array}{ll}3& (0<a<e^{-1}),\\ 2& (a=e^{-1}),\\ 1& (a>e^{-1})\end{array}$$である。ゆえに共通接線の本数も同じく$$\{\begin{array}{ll}3& (0<a<e^{-1}),\\ 2& (a=e^{-1}),\\ 1& (a>e^{-1})\end{array}$$となる。