横浜国立大学 2017年度文理共通数学第3問解答・解説

問題

円卓に $A, B, C, D, E, F$ の6人が右の図のように座っており、さいころが1個ある。

このとき、次の試行(*)を繰り返し、得点を獲得していくゲームを考える。ただし、ゲーム開始時は、 $A$ がさいころを持っており、各自の持ち点は $0$ 点であるとする。

(*) さいころを持っている人が、そのさいころを1回投げて出た目を $k$ とする。このとき、投げた人から時計回りに $k$ 人目の人がさいころを受け取り、さいころを受け取った人の持ち点に $k$ 点が加算される。

たとえば、 $A$ がさいころを投げて $5$ の目が出た場合は、 $F$ がさいころを受け取り、 $F$ の持ち点に $5$ 点が加算される。

試行(*)を4回繰り返してゲームを終了する。次の問いに答えよ。

(1) ゲーム終了時に $A$ の持ち点が $0$ 点である確率を求めよ。

(2) ゲーム終了時に $A$ の持ち点が $5$ 点である確率を求めよ。

(3) ゲーム終了時に $A$ の持ち点が $5$ 点であるとき、 $E$ の持ち点が $3$ 点である条件付き確率を求めよ。

出典：横浜国立大学 2017年度前期文理共通第3問

方針

解法1

$A, B, C, D, E, F$ をそれぞれ余り $0, 1, 2, 3, 4, 5$ に対応させる。4回の出目を $k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4}$ とし、累積和 $S_{j} = k_{1} + \dots + k_{j}$ の $6$ で割った余りで受け取る人を判定する。 $S_{j} \equiv 0$ のとき $A$ 、 $S_{j} \equiv 4$ のとき $E$ が得点するので、累積和で数え上げる。

解法2

累積位置とA・Eの得点を状態にした動的計画法で4回の遷移を数える。各出目1〜6を状態へ加え，最終状態の個数を集計する。

解答

解法1

(1)

$A, B, C, D, E, F$ を順に $0, 1, 2, 3, 4, 5$ に対応させる。4回の出目を $k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4}$ とし、 $S_{j} = k_{1} + \dots + k_{j}$ とする。このとき $S_{j} \equiv 0 (mod 6)$ となる回に $A$ が得点する。

$A$ の持ち点が $0$ 点であるためには、4回すべてで $S_{j} \neq \equiv 0 (mod 6)$ であればよい。各回、現在の余りが $0$ でないようにする出目は5通りであるから、有利な出目列は

5^{4} = 625

通りである。全体は $6^{4}$ 通りなので、求める確率は

\frac{625}{1296}

である。

(2)

$A$ の得点が $5$ 点になる場合を数える。 $A$ が1回だけ得点し、その得点が $5$ 点である場合を考える。得点する回は第2回、第3回、第4回のいずれかであり、それぞれ25通りである。したがってこの場合は

75

通りである。

次に $A$ が2回得点する場合、2回の得点の和が $5$ でなければならない。得点回は第2回と第4回に限られ、得点の組は

(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)

の4通りである。3回以上得点して合計 $5$ 点になることはない。よって有利な出目列は

75 + 4 = 79

通りである。したがって求める確率は

\frac{79}{1296}

である。

(3)

(2)で数えた $79$ 通りのうち、 $E$ が $3$ 点を得るには、ある回で出目が $3$ で、かつその回の累積和が $4$ に合同でなければならない。

(2)の分類に従って確認すると、この条件をみたす出目列は

(1, 5, 1, 3), (1, 3, 3, 5)

の2通りである。したがって条件付き確率は

\frac{2}{79}

である。

解法2

人を時計回りに $A = 0, B = 1, \dots, F = 5$ と番号づける。 $j$ 回後の位置，Aの得点，Eの得点を $(r, p, q)$ とし，その出目列の個数を $N_{j} (r, p, q)$ とする。初期値は

N_{0} (0, 0, 0) = 1.

出目 $k = 1, \dots, 6$ に対し

r^{'} \equiv r + k (mod 6)

とし， $r^{'} = 0$ なら $p$ に $k$ ， $r^{'} = 4$ なら $q$ に $k$ を加える。この遷移を4回行う。

(1)

$p = 0$ の状態の個数を合計すると

625

通りである。全体は $6^{4} = 1296$ 通りなので

\frac{625}{1296} .

(2)

$p = 5$ の状態の個数を合計すると

79

通りである。したがって

\frac{79}{1296} .

(3)

$p = 5, q = 3$ となるのは

(1, 5, 1, 3), (1, 3, 3, 5)

の2列である。条件付き確率は

\frac{2}{79} .

横浜国立大学 2017年度文理共通数学 第3問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

横浜国立大学 2017年度
文理共通数学第3問