横浜国立大学 2019年度文理共通数学第2問解答・解説

問題

1辺の長さが1である正四面体 $O A B C$ がある。辺 $O A$ 上に点 $D$ ，辺 $O B$ 上に点 $E$ ，辺 $O C$ 上に点 $F$ があり，

O D : D A = 1 : 1, O E : E B = 2 : 1, O F : F C = 2 : 3

をみたしている。さらに辺 $O B$ と辺 $A C$ の中点をそれぞれ $M, N$ とする。平面 $D E F$ と直線 $M N$ の交点を $P$ とする。ベクトル $O A, O B, O C$ を $a, b, c$ とおく。次の問いに答えよ。

(1) $∣ M N ∣$ を求めよ。

(2) $O P$ を $a, b, c$ を用いて表せ。

(3) $∣ M P ∣$ を求めよ。

出典：横浜国立大学 2019年度前期文理共通第2問

方針

解法1

正四面体なので $∣ a ∣ = ∣ b ∣ = ∣ c ∣ = 1$ かつ相互の内積は $1/2$ である。(1) は $M N$ を成分表示して長さを求める。(2) は直線 $M N$ 上の点を媒介変数で表し，平面 $D E F$ の切片型の条件に代入する。(3) は $P$ が $M N$ をどの比で進んだ点かを使う。

解法2

直線 $M N$ 上の位置を内分パラメータ $s$ で表し、同じ点を平面 $D E F$ 上のアフィン結合でも表す。 $a, b, c$ の係数比較だけで $s$ を決定する。

解答

解法1

(1)

正四面体の1辺の長さが1であるから

∣ a ∣ = ∣ b ∣ = ∣ c ∣ = 1, a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a = \frac{1}{2}

である。 $M$ は辺 $O B$ の中点， $N$ は辺 $A C$ の中点なので

O M = \frac{1}{2} b, O N = \frac{1}{2} (a + c)

である。したがって

M N = \frac{1}{2} (a - b + c)

であり，

∣ M N ∣^{2} = \frac{1}{4} {3 + 2 a \cdot c - 2 a \cdot b - 2 b \cdot c} = \frac{1}{2}

となる。よって

∣ M N ∣ = \frac{1}{2}

である。

(2)

直線 $M N$ 上の点を

O P = O M + t M N = \frac{t}{2} a + \frac{1 - t}{2} b + \frac{t}{2} c

と表す。平面 $D E F$ 上の点 $α a + β b + γ c$ は

2 α + \frac{3}{2} β + \frac{5}{2} γ = 1

をみたす。ここに $α = \frac{t}{2}$ , $β = \frac{1 - t}{2}$ , $γ = \frac{t}{2}$ を代入すると

t + \frac{3 ( 1 - t )}{4} + \frac{5 t}{4} = 1

であるから， $t = \frac{1}{6}$ である。したがって

O P = \frac{1}{12} a + \frac{5}{12} b + \frac{1}{12} c

である。

(3)

(2)より $M P = \frac{1}{6} M N$ である。したがって

∣ M P ∣ = \frac{1}{6} ∣ M N ∣ = \frac{1}{6 2} = \frac{2}{12}

である。

解法2

点の配置を先に図で整理する。

(1)

$M, N$ の位置ベクトルから

M N = \frac{1}{2} (a - b + c)

である。正四面体では異なる2辺方向の内積がすべて $1/2$ なので

∣ M N ∣^{2} = \frac{1}{4} (3 + 1 - 1 - 1) = \frac{1}{2} .

したがって $∣ M N ∣ = 1/ 2$ である。

(2)

$P$ を $M$ から $N$ へ $s$ 進んだ点とすると

O P = \frac{s}{2} a + \frac{1 - s}{2} b + \frac{s}{2} c . (1)

一方、 $P$ は平面 $D E F$ 上にあるから、実数 $u, v$ を用いて

O P = O D + u D E + v D F = \frac{1 - u - v}{2} a + \frac{2 u}{3} b + \frac{2 v}{5} c . (2)

(1),(2)の係数を比べると

s = 1 - u - v, u = \frac{3 ( 1 - s )}{4}, v = \frac{5 s}{4} .

後2式を初めの式へ代入して

s = 1 - \frac{3 ( 1 - s )}{4} - \frac{5 s}{4} = \frac{1}{4} - \frac{s}{2}

より $s = 1/6$ である。よって

O P = \frac{1}{12} a + \frac{5}{12} b + \frac{1}{12} c .

(3)

$M P : M N = s : 1 = 1 : 6$ だから

∣ M P ∣ = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{12} .

横浜国立大学 2019年度文理共通数学 第2問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

横浜国立大学 2019年度
文理共通数学第2問