横浜国立大学 2020年度文理共通数学第2問解答・解説

問題

中身の見えない2つの箱 $A, B$ がある。箱 $A$ には白玉と赤玉がそれぞれ2個ずつ入っており、箱 $B$ には白玉1個だけが入っている。 $n$ を正の整数として、次の操作 $(*)$ を考える。

$(*)$ はじめに箱 $A$ の中身をよくかきまぜ、箱 $A$ から玉を2個取り出し、色を確認しないで箱 $B$ に2個とも入れる。次に「箱 $B$ の中身をよくかきまぜ、箱 $B$ から玉を1個取り出し、色を確認した後、箱 $B$ に戻す」という作業を $n$ 回繰り返す。

操作 $(*)$ を一度行ったとき、箱 $B$ から取り出した玉が $n$ 回ともすべて白玉である確率を $p_{n}$ とする。また、その $n$ 回がすべて白玉であったという条件のもとで、はじめに箱 $A$ から取り出した玉が2個とも白玉である条件付き確率を $q_{n}$ とする。

(1) $p_{2}, q_{2}$ を求めよ。

(2) $p_{n}, q_{n}$ を求めよ。

(3)

q_{n} > \frac{1}{2}

を満たす最小の $n$ を求めよ。

出典：横浜国立大学 2020年度前期文理共通第2問

方針

解法1（3状態に分けて全確率を使う）

箱 $A$ から移した2個の色を「白白・白赤・赤赤」の3状態に分ける。各状態の確率と、その状態で $n$ 回とも白を引く確率を掛けて足し、条件付き確率は同時確率を $p_{n}$ で割る。

解法2（事後確率の重みを直接比較する）

3状態の事前確率と「すべて白」という観測の尤度を掛け、観測後の重みを比で並べる。正規化前の重みだけで $q_{n}$ が求まり、同じ重みの総和から $p_{n}$ も復元できる。

解答

解法1（3状態に分けて全確率を使う）

(1)

箱 $A$ から取り出す2個の色と、その後の箱 $B$ の状態を整理すると

移した色 白白 白赤 赤赤 確率 \frac{1}{6} \frac{4}{6} \frac{1}{6} 箱 B の白玉数 321 n 回とも白の確率 1 (\frac{2}{3})^{n} (\frac{1}{3})^{n}

となる。したがって

p_{2} = \frac{1}{6} + \frac{4}{6} (\frac{2}{3})^{2} + \frac{1}{6} (\frac{1}{3})^{2} = \frac{13}{27} .

また「最初が白白、かつ2回とも白」の確率は $1/6$ なので

q_{2} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{13}{27}} = \frac{9}{26} .

(2)

同じ表から

p_{n} = \frac{1}{6} + \frac{4}{6} (\frac{2}{3})^{n} + \frac{1}{6} (\frac{1}{3})^{n} = \frac{3 ^{n} + 2 ^{n + 2} + 1}{6 \cdot 3 ^{n}} .

また

q_{n} = \frac{\frac{1}{6}}{p _{n}} = \frac{3 ^{n}}{3 ^{n} + 2 ^{n + 2} + 1} .

(3)

条件は

3^{n} > 2^{n + 2} + 1.

$n = 1, 2, 3$ では成り立たず、 $n = 4$ では

3^{4} = 81 > 65 = 2^{6} + 1.

さらに

h_{n} = 3^{n} - 2^{n + 2} - 1

とおけば

h_{n + 1} = 3 h_{n} + 2^{n + 2} + 2.

したがって $h_{n} > 0$ となった後は正のままである。よって最小の $n$ は

4

である。

解法2（事後確率の重みを直接比較する）

(1)

最初に移した色を

H_{2} = 白白, H_{1} = 白赤, H_{0} = 赤赤

とする。それぞれの事前確率の比は

P (H_{2}) : P (H_{1}) : P (H_{0}) = 1 : 4 : 1.

「 $n$ 回とも白」という観測を $W_{n}$ とすると

P (W_{n} ∣ H_{2}) = 1, P (W_{n} ∣ H_{1}) = (\frac{2}{3})^{n}, P (W_{n} ∣ H_{0}) = (\frac{1}{3})^{n} .

したがって観測後の正規化前の重みは

1, 4 (\frac{2}{3})^{n}, (\frac{1}{3})^{n} .

$n = 2$ のとき、正規化前の重みは

1, \frac{16}{9}, \frac{1}{9}

だから

q_{2} = \frac{9}{26} .

また全確率から

p_{2} = \frac{13}{27} .

(2)

一般の $n$ について、上の重みから

q_{n} = \frac{1}{1 + 4 ( \frac{2}{3} ) ^{n} + ( \frac{1}{3} ) ^{n}} = \frac{3 ^{n}}{3 ^{n} + 2 ^{n + 2} + 1} .

また

p_{n} = \frac{1}{6} {1 + 4 (\frac{2}{3})^{n} + (\frac{1}{3})^{n}} = \frac{3 ^{n} + 2 ^{n + 2} + 1}{6 \cdot 3 ^{n}} .

(3)

$q_{n} > 1/2$ は

3^{n} > 2^{n + 2} + 1

と同値である。解法1の $h_{n}$ の関係から、最小の $n$ は

4

である。

横浜国立大学 2020年度文理共通数学 第2問

問題

方針

解法1（3状態に分けて全確率を使う）

解法2（事後確率の重みを直接比較する）

解答

解法1（3状態に分けて全確率を使う）

(1)

(2)

(3)

解法2（事後確率の重みを直接比較する）

(1)

(2)

(3)

横浜国立大学 2020年度
文理共通数学第2問