横浜国立大学 2022年度 前期文系数学 第2問

(1) $$h(x)=f(x)-g(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-a(a+1)x-b$$とおく。すると$$h^{\mathrm{\prime }}(x)=x^2-x-a(a+1)=(x+a)(x-a-1)\mathrm{.}$$よって $h$ は $x=-a$ で極大、$x=a+1$ で極小となる。

異なる共有点が2点だけなので、$h(x)=0$ は重解をもつ。
ところが$$h(a+1)=-\frac{(a+1{)}^2(4a+1)}{6}-b<0$$であり、極小点は零点にならない。したがって $x=-a$ が重解であり、
$h(-a)=0$ から$$b=\frac{a^2(4a+3)}{6}\mathrm{.}$$(2)
$x=-a$ が重解で、3次の係数が $1\mathrm{/}3$ だから$$h(x)=\frac{1}{3}(x+a{)}^2(x-q)\mathrm{.}$$$x^2$ の係数を比較すると$$\frac{2a-q}{3}=-\frac{1}{2}\mathrm{.}$$よって$$p=-a,q=2a+\frac{3}{2}\mathrm{.}$$(3)
$p\leqq t\leqq q$ では $h(t)\leqq 0$ である。
$h$ は $t=a+1$ で最小となるので、$$\underset{p\leqq t\leqq q}{\max }\mathrm{\mid }f(t)-g(t)\mathrm{\mid }=-h(a+1)\mathrm{.}$$(1)の $b$ を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle -h(a+1)}& {\displaystyle =\frac{(a+1{)}^2(4a+1)+a^2(4a+3)}{6}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(2a+1{)}^3}{6}\mathrm{.}}\end{array}$$

$h(x)=f(x)-g(x)$ の重解を $\alpha$、もう一つの根を $\beta$ と置く。
重解は $h^{\mathrm{\prime }}$ の根 $-a,a+1$ のいずれかである。
係数比較と $b>0$ だけで重解を選別し、因数分解された形から
$\mathrm{\mid }h\mathrm{\mid }$ の最大値も一変数の3次式として求める。

(1)
異なる零点が2個なので$$h(x)=\frac{1}{3}(x-\alpha {)}^2(x-\beta )$$と書ける。重解 $\alpha$ は $h^{\mathrm{\prime }}(\alpha )=0$ も満たすから$$\alpha =-a\text{または}\alpha =a+1.$$$x^2$ の係数比較と定数項比較から$$\beta +2\alpha =\frac{3}{2},b=\frac{{\alpha }^2\beta }{3}\mathrm{.}$$$\alpha =a+1$ なら
$\beta =-2a-{\displaystyle \frac{1}{2}}<0$ となり、$b<0$ に反する。
よって $\alpha =-a$ であり、$$\beta =2a+\frac{3}{2},b=\frac{a^2(4a+3)}{6}\mathrm{.}$$(2)
重解が小さい方の根なので$$p=-a,q=2a+\frac{3}{2}\mathrm{.}$$差の関数の概形は次の通りで、$p$ では接し、$q$ では横切る。

(3)
$u=t+a$、$L=q+a={\displaystyle \frac{3}{2}}(2a+1)$ とおく。
$0\leqq u\leqq L$ で$$\mathrm{\mid }h(t)\mathrm{\mid }=-h(t)=\frac{1}{3}{u}^2(L-u)\mathrm{.}$$右辺の微分は$$\frac{1}{3}u(2L-3u)$$だから、最大は $u=2L\mathrm{/}3=2a+1$、すなわち $t=a+1$ で生じる。
よって$$\max \mathrm{\mid }h(t)\mathrm{\mid }=\frac{1}{3}{\left(\frac{2L}{3}\right)}^2\frac{L}{3}=\frac{(2a+1{)}^3}{6}\mathrm{.}$$