横浜国立大学 2022年度文系数学第2問解答・解説

問題

正の実数 $a, b$ に対して、関数 $f (x), g (x)$ を

⎩ ⎨ ⎧ f (x) = \frac{x ^{3}}{3} - a (a + 1) x, g (x) = \frac{x ^{2}}{2} + b

とする。 $x y$ 平面上の曲線 $y = f (x)$ と曲線 $y = g (x)$ の共有点は、異なる2点のみである。これらの共有点の $x$ 座標を $p, q$ （ $p < q$ ）とおく。次の問いに答えよ。

(1) $b$ を $a$ の式で表せ。

(2) $p$ と $q$ をそれぞれ $a$ の式で表せ。

(3) $t$ が $p ≦ t ≦ q$ の範囲を動くとき、 $∣ f (t) - g (t) ∣$ の最大値を $a$ の式で表せ。

出典：横浜国立大学 2022年度前期文系第2問

方針

解法1（差の3次関数の極値を使う方法）

共有点の $x$ 座標を $h (x) = f (x) - g (x)$ の零点として捉える。3次方程式が異なる2実根だけをもつので、極大点か極小点が重解になる。 $b > 0$ によって極小点での接触を除き、重解と残りの根を決める。最大距離は区間内の $h$ の最小値から求める。

解法2（重解を文字で置き、係数比較する方法）

$h (x) = f (x) - g (x)$ の重解を $α$ 、もう一つの根を $β$ と置く。重解は $h^{'}$ の根 $- a, a + 1$ のいずれかである。係数比較と $b > 0$ だけで重解を選別し、因数分解された形から $∣ h ∣$ の最大値も一変数の3次式として求める。

解答

解法1（差の3次関数の極値を使う方法）

(1)

h (x) = f (x) - g (x) = \frac{x ^{3}}{3} - \frac{x ^{2}}{2} - a (a + 1) x - b

とおく。すると

h^{'} (x) = x^{2} - x - a (a + 1) = (x + a) (x - a - 1) .

よって $h$ は $x = - a$ で極大、 $x = a + 1$ で極小となる。

異なる共有点が2点だけなので、 $h (x) = 0$ は重解をもつ。ところが

h (a + 1) = - \frac{( a + 1 ) ^{2} ( 4 a + 1 )}{6} - b < 0

であり、極小点は零点にならない。したがって $x = - a$ が重解であり、 $h (- a) = 0$ から

b = \frac{a ^{2} ( 4 a + 3 )}{6} .

(2)

$x = - a$ が重解で、3次の係数が $1/3$ だから

h (x) = \frac{1}{3} (x + a)^{2} (x - q) .

$x^{2}$ の係数を比較すると

\frac{2 a - q}{3} = - \frac{1}{2} .

よって

p = - a, q = 2 a + \frac{3}{2} .

(3)

$p ≦ t ≦ q$ では $h (t) ≦ 0$ である。 $h$ は $t = a + 1$ で最小となるので、

p ≦ t ≦ q max ∣ f (t) - g (t) ∣ = - h (a + 1) .

(1)の $b$ を用いると

- h (a + 1) = \frac{( a + 1 ) ^{2} ( 4 a + 1 ) + a ^{2} ( 4 a + 3 )}{6} = \frac{( 2 a + 1 ) ^{3}}{6} .

解法2（重解を文字で置き、係数比較する方法）

(1)

異なる零点が2個なので

h (x) = \frac{1}{3} (x - α)^{2} (x - β)

と書ける。重解 $α$ は $h^{'} (α) = 0$ も満たすから

α = - a または α = a + 1.

$x^{2}$ の係数比較と定数項比較から

β + 2 α = \frac{3}{2}, b = \frac{α ^{2} β}{3} .

$α = a + 1$ なら $β = - 2 a - \frac{1}{2} < 0$ となり、 $b < 0$ に反する。よって $α = - a$ であり、

β = 2 a + \frac{3}{2}, b = \frac{a ^{2} ( 4 a + 3 )}{6} .

(2)

重解が小さい方の根なので

p = - a, q = 2 a + \frac{3}{2} .

差の関数の概形は次の通りで、 $p$ では接し、 $q$ では横切る。

(3)

$u = t + a$ 、 $L = q + a = \frac{3}{2} (2 a + 1)$ とおく。 $0 ≦ u ≦ L$ で

∣ h (t) ∣ = - h (t) = \frac{1}{3} u^{2} (L - u) .

右辺の微分は

\frac{1}{3} u (2 L - 3 u)

だから、最大は $u = 2 L /3 = 2 a + 1$ 、すなわち $t = a + 1$ で生じる。よって

max ∣ h (t) ∣ = \frac{1}{3} (\frac{2 L}{3})^{2} \frac{L}{3} = \frac{( 2 a + 1 ) ^{3}}{6} .

横浜国立大学 2022年度文系数学 第2問

問題

方針

解法1（差の3次関数の極値を使う方法）

解法2（重解を文字で置き、係数比較する方法）

解答

解法1（差の3次関数の極値を使う方法）

(1)

(2)

(3)

解法2（重解を文字で置き、係数比較する方法）

(1)

(2)

(3)

横浜国立大学 2022年度
文系数学第2問