横浜国立大学 2023年度 前期文系数学 第1問

(1)
直線を$y=px+q$とおく。$C_1$に接する条件は$$x^2+(2-p)x-q=0$$が重解をもつことであるから、$(2-p{)}^2+4q=0$である。また$C_2$に接する条件は$$-2x^2+(2-p)x-q=0$$が重解をもつことであるから、$(2-p{)}^2-8q=0$である。よって$$q=-\frac{(2-p{)}^2}{4}=\frac{(2-p{)}^2}{8}$$となり、$p=2,q=0$を得る。したがって共通接線はただ1つで、$y=2x$である。

(2)
$l$の傾きは2であるから、$m$の傾きは$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$であり、$m:y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+b$である。

$m$と$C_1$の共有点の$x$座標は$x^2+{\displaystyle \frac{5}{2}}x-b=0$を満たす。異なる2解をもつ条件は$${\displaystyle \frac{25}{4}}+4b>0$$、すなわち$$b>-{\displaystyle \frac{25}{16}}$$である。

また$m$と$C_2$の共有点の$x$座標は$-2x^2+{\displaystyle \frac{5}{2}}x-b=0$を満たす。異なる2解をもつ条件は$${\displaystyle \frac{25}{4}}-8b>0$$、すなわち$$b<{\displaystyle \frac{25}{32}}$$である。

$C_1$と$C_2$の共有点は$(0,0)$のみであり、$m$がこの点を通るのは$b=0$のときである。このとき和集合の要素数は3となるので除く。したがって$$-\frac{25}{16}<b<0,0<b<\frac{25}{32}$$である。

(3)
(2)の範囲で$$S_1=\frac{1}{6}{(\frac{25}{4}+4b)}^{\frac{3}{2}},S_2=\frac{1}{24}{(\frac{25}{4}-8b)}^{\frac{3}{2}}$$である。$S_1:S_2=1:2$より$2S_1=S_2$であるから$${(\frac{25}{4}-8b)}^{\frac{3}{2}}=8{(\frac{25}{4}+4b)}^{\frac{3}{2}}$$である。両辺は正なので$$\frac{25}{4}-8b=4(\frac{25}{4}+4b)$$となり、$$b=-{\displaystyle \frac{25}{32}}$$を得る。

共通接線は2つの接点の座標を直接おいて、傾きと切片を照合する。(2)(3)では直線との差を平方完成し、共有点の個数と面積を同じ標準形から読み取る。

(1)
$C_1$ 上の $x=t$ における接線は$$y=(2t+2)x-t^2,$$$C_2$ 上の $x=u$ における接線は$$y=(-4u+2)x+2u^2$$である。同じ直線になるには$$2t+2=-4u+2,-t^2=2u^2$$が必要である。第1式から $t=-2u$ であり、第2式へ代入すると
$-4u^2=2u^2$、すなわち $u=t=0$ となる。逆にこのとき両接線は一致するので、ただ1つの共通接線は$$l:y=2x$$である。

(2)
$m$ は $l$ と垂直だから $m:y=-x\mathrm{/}2+b$ である。差を平方完成すると$$C_1-m={(x+\frac{5}{4})}^2-(b+\frac{25}{16}),$$$$C_2-m=-2{(x-\frac{5}{8})}^2+(\frac{25}{32}-b)\mathrm{.}$$したがって各曲線と $m$ が異なる2点で交わる条件は$$-\frac{25}{16}<b<\frac{25}{32}\mathrm{.}$$ただし $C_1,C_2$ の共有点は $(0,0)$ だけで、$b=0$ ではこの点が重複して和集合の要素数が3になる。よって$$-\frac{25}{16}<b<0,0<b<\frac{25}{32}\mathrm{.}$$(3)
$R_1^2=b+25\mathrm{/}16$ とおけば$$S_1={\int }_{-R_1}^{R_1}(R_1^2-u^2)du=\frac{4}{3}{R}_1^3\mathrm{.}$$また $A=25\mathrm{/}32-b$、$R_2^2=A\mathrm{/}2$ とおけば$$S_2={\int }_{-R_2}^{R_2}(A-2u^2)du=\frac{4}{3\sqrt{2}}{A}^{3\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$$S_2=2S_1$ を3乗根まで整理すると$$\frac{25}{4}-8b=4(\frac{25}{4}+4b),$$したがって$$b=-\frac{25}{32}\mathrm{.}$$これは(2)の範囲内にある。