横浜国立大学 2023年度文系数学第1問解答・解説

問題

$x y$ 平面上に2つの放物線

C_{1} : y = x^{2} + 2 x, C_{2} : y = - 2 x^{2} + 2 x

がある。次の問いに答えよ。

(1) $C_{1}$ と $C_{2}$ のどちらにも接する直線が1つだけ存在することを示し、その直線の方程式を求めよ。

上で求めた直線を $l$ とする。さらに、実数 $a, b$ に対して定まる直線 $m : y = a x + b$ が、次の2つの条件を満たすとする。

・ $m$ は $l$ と垂直に交わる。

・和集合 ${P ∣ P は m と C_{1} との共有点} \cup {Q ∣ Q は m と C_{2} との共有点}$ の要素の個数がちょうど4である。

(2) $b$ のとり得る値の範囲を求めよ。

(3) $m$ と $C_{1}$ で囲まれた部分の面積を $S_{1}$ とし、 $m$ と $C_{2}$ で囲まれた部分の面積を $S_{2}$ とする。 $S_{1} : S_{2} = 1 : 2$ を満たす $b$ の値を求めよ。

出典：横浜国立大学 2023年度前期文系第1問

方針

解法1

共通接線は傾きを文字で置き、2つの放物線に対する接線条件を判別式で表す。(2)では $l$ に垂直な直線の傾きを定め、各放物線との交点が2個ずつあり、かつ原点で重ならない条件に直す。(3)では2次関数と直線で囲まれる面積を、2交点間の幅から表して比を解く。

解法2（接点パラメータと頂点標準形を使う方法）

共通接線は2つの接点の座標を直接おいて、傾きと切片を照合する。(2)(3)では直線との差を平方完成し、共有点の個数と面積を同じ標準形から読み取る。

解答

解法1

(1)

直線を $y = p x + q$ とおく。 $C_{1}$ に接する条件は

x^{2} + (2 - p) x - q = 0

が重解をもつことであるから、 $(2 - p)^{2} + 4 q = 0$ である。また $C_{2}$ に接する条件は

- 2 x^{2} + (2 - p) x - q = 0

が重解をもつことであるから、 $(2 - p)^{2} - 8 q = 0$ である。よって

q = - \frac{( 2 - p ) ^{2}}{4} = \frac{( 2 - p ) ^{2}}{8}

となり、 $p = 2, q = 0$ を得る。したがって共通接線はただ1つで、 $y = 2 x$ である。

(2)

$l$ の傾きは2であるから、 $m$ の傾きは $- \frac{1}{2}$ であり、 $m : y = - \frac{1}{2} x + b$ である。

$m$ と $C_{1}$ の共有点の $x$ 座標は $x^{2} + \frac{5}{2} x - b = 0$ を満たす。異なる2解をもつ条件は $\frac{25}{4} + 4 b > 0$ 、すなわち $b > - \frac{25}{16}$ である。

また $m$ と $C_{2}$ の共有点の $x$ 座標は $- 2 x^{2} + \frac{5}{2} x - b = 0$ を満たす。異なる2解をもつ条件は $\frac{25}{4} - 8 b > 0$ 、すなわち $b < \frac{25}{32}$ である。

$C_{1}$ と $C_{2}$ の共有点は $(0, 0)$ のみであり、 $m$ がこの点を通るのは $b = 0$ のときである。このとき和集合の要素数は3となるので除く。したがって

- \frac{25}{16} < b < 0, 0 < b < \frac{25}{32}

である。

(3)

(2)の範囲で

S_{1} = \frac{1}{6} (\frac{25}{4} + 4 b)^{\frac{3}{2}}, S_{2} = \frac{1}{24} (\frac{25}{4} - 8 b)^{\frac{3}{2}}

である。 $S_{1} : S_{2} = 1 : 2$ より $2 S_{1} = S_{2}$ であるから

(\frac{25}{4} - 8 b)^{\frac{3}{2}} = 8 (\frac{25}{4} + 4 b)^{\frac{3}{2}}

である。両辺は正なので

\frac{25}{4} - 8 b = 4 (\frac{25}{4} + 4 b)

となり、 $b = - \frac{25}{32}$ を得る。

解法2（接点パラメータと頂点標準形を使う方法）

(1)

$C_{1}$ 上の $x = t$ における接線は

y = (2 t + 2) x - t^{2},

$C_{2}$ 上の $x = u$ における接線は

y = (- 4 u + 2) x + 2 u^{2}

である。同じ直線になるには

2 t + 2 = - 4 u + 2, - t^{2} = 2 u^{2}

が必要である。第1式から $t = - 2 u$ であり、第2式へ代入すると $- 4 u^{2} = 2 u^{2}$ 、すなわち $u = t = 0$ となる。逆にこのとき両接線は一致するので、ただ1つの共通接線は

l : y = 2 x

である。

(2)

$m$ は $l$ と垂直だから $m : y = - x /2 + b$ である。差を平方完成すると

C_{1} - m = (x + \frac{5}{4})^{2} - (b + \frac{25}{16}),

C_{2} - m = - 2 (x - \frac{5}{8})^{2} + (\frac{25}{32} - b) .

したがって各曲線と $m$ が異なる2点で交わる条件は

- \frac{25}{16} < b < \frac{25}{32} .

ただし $C_{1}, C_{2}$ の共有点は $(0, 0)$ だけで、 $b = 0$ ではこの点が重複して和集合の要素数が3になる。よって

- \frac{25}{16} < b < 0, 0 < b < \frac{25}{32} .

(3)

$R_{1}^{2} = b + 25/16$ とおけば

S_{1} = \int_{- R_{1}}^{R_{1}} (R_{1}^{2} - u^{2}) d u = \frac{4}{3} R_{1}^{3} .

また $A = 25/32 - b$ 、 $R_{2}^{2} = A /2$ とおけば

S_{2} = \int_{- R_{2}}^{R_{2}} (A - 2 u^{2}) d u = \frac{4}{3 2} A^{3/2} .

$S_{2} = 2 S_{1}$ を3乗根まで整理すると

\frac{25}{4} - 8 b = 4 (\frac{25}{4} + 4 b),

したがって

b = - \frac{25}{32} .

これは(2)の範囲内にある。

横浜国立大学 2023年度文系数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2（接点パラメータと頂点標準形を使う方法）

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2（接点パラメータと頂点標準形を使う方法）

(1)

(2)

(3)

横浜国立大学 2023年度
文系数学第1問