横浜国立大学 2023年度文系数学第3問解答・解説

問題

四面体 $O A B C$ があり、 $a = O A$ 、 $b = O B$ 、 $c = O C$ とし、点 $D$ を

O D = 4 a + 3 b + 2 c

で定める。点 $X, P, Q, R$ を以下の条件(＊)を満たすようにとる。

(＊) ⎩ ⎨ ⎧ X は、 △ A B C の辺上または内部にある。 直線 D X は、平面 O A B 、平面 O B C 、平面 O C A とそれぞれ P, Q, R で交わる。 D P = α D X, D Q = β D X, D R = γ D X と表すとき、 0 < α ≦ β ≦ γ である。

また、実数 $s, t$ を用いて、 $A X = s A B + t A C$ と表す。次の問いに答えよ。

(1) 実数 $u$ で定まるベクトル $O D + u D X$ を、 $a, b, c, s, t, u$ を用いて表せ。

(2) $α, β, γ$ を $s, t$ でそれぞれ表せ。

(3) $X$ が条件(＊)を満たしながら動くとき、点 $(s, t)$ の存在範囲を $s t$ 平面上に図示せよ。

(4) $X$ が条件(＊)を満たしながら動くとき、 $X$ が動く部分の面積 $S_{1}$ と $△ A B C$ の面積 $S_{2}$ の比 $S_{1} : S_{2}$ を求めよ。

出典：横浜国立大学 2023年度前期文系第3問

方針

解法1

$X$ を $a, b, c$ の係数で表し、直線 $D X$ 上の点 $D + u D X$ の各係数を見る。平面 $O A B, O B C, O C A$ との交点は、それぞれ $c, a, b$ の係数が0になる条件から求まる。最後は $s, t$ 平面で不等式領域の面積を求め、 $△ A B C$ との面積比に直す。

解法2（重心座標の消滅時刻と行列式面積を使う方法）

$A, B, C$ に関する係数を重心座標とみなし、DからXへ進むとき各係数が0になる時刻を求める。時刻の順序が一次不等式を与える。最後の面積は頂点の行列式で求める。

解答

解法1

(1)

$A X = s A B + t A C$ より

O X = (1 - s - t) a + s b + t c

である。したがって

D X = (- 3 - s - t) a + (s - 3) b + (t - 2) c

であり、

O D + u D X = {4 - u (3 + s + t)} a + {3 + u (s - 3)} b + {2 + u (t - 2)} c

である。

(2)

点 $P$ は平面 $O A B$ 上にあるので $c$ の係数が0となり、 $2 + α (t - 2) = 0$ である。よって

α = \frac{2}{2 - t}

である。同様に、点 $Q$ は平面 $O B C$ 上にあるので

β = \frac{4}{3 + s + t}

であり、点 $R$ は平面 $O C A$ 上にあるので

γ = \frac{3}{3 - s}

である。

(3)

$X$ が $△ A B C$ の辺上または内部にある条件は $s ≧ 0, t ≧ 0, s + t ≦ 1$ である。さらに $0 < α ≦ β ≦ γ$ より

\frac{2}{2 - t} ≦ \frac{4}{3 + s + t}, \frac{4}{3 + s + t} ≦ \frac{3}{3 - s}

である。整理すると

s + 3 t ≦ 1, 7 s + 3 t ≧ 3

となる。 $s + 3 t ≦ 1$ なら $s + t ≦ 1$ も成り立つので、求める範囲は

s ≧ 0, t ≧ 0, s + 3 t ≦ 1, 7 s + 3 t ≧ 3

で表される三角形の周および内部である。その頂点は

(\frac{3}{7}, 0), (1, 0), (\frac{1}{3}, \frac{2}{9})

である。

(4)

$s t$ 平面で $△ A B C$ 全体に対応する範囲は、頂点 $(0, 0), (1, 0), (0, 1)$ をもつ三角形で、その面積は $\frac{1}{2}$ である。(3)の三角形の面積は

\frac{1}{2} (1 - \frac{3}{7}) \cdot \frac{2}{9} = \frac{4}{63}

である。 $X$ と $(s, t)$ の対応は面積比を保つので

S_{1} : S_{2} = \frac{4}{63} : \frac{1}{2} = 8 : 63

である。

解法2（重心座標の消滅時刻と行列式面積を使う方法）

(1)(2)

Xの重心座標は $(1 - s - t, s, t)$ 、Dの係数は $(4, 3, 2)$ である。DからXへ割合 $u$ だけ進んだ点の係数は

(4 - u (3 + s + t), 3 - u (3 - s), 2 - u (2 - t)) .

平面OAB、OBC、OCAではそれぞれ第3、第1、第2成分が0になるから

α = \frac{2}{2 - t}, β = \frac{4}{3 + s + t}, γ = \frac{3}{3 - s} .

(3)

三角形ABC内の条件 $s ≧ 0, t ≧ 0, s + t ≦ 1$ のもとでは各分母は正である。よって

α ≦ β ⟺ s + 3 t ≦ 1, β ≦ γ ⟺ 7 s + 3 t ≧ 3.

前者から $s + t ≦ 1$ も従うので、領域は

s ≧ 0, t ≧ 0, s + 3 t ≦ 1, 7 s + 3 t ≧ 3

である。境界線の交点を求めると頂点は

(\frac{3}{7}, 0), (1, 0), (\frac{1}{3}, \frac{2}{9})

となる。

(4)

上の3頂点を $U, V, W$ とすると、行列式により領域の面積は

\frac{1}{2} ∣ det (V - U, W - U) ∣ = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{2}{9} = \frac{4}{63} .

一方、三角形ABC全体に対応する $s t$ 領域の面積は $1/2$ である。写像 $X = A + s (B - A) + t (C - A)$ は一定の面積倍率をもつので

S_{1} : S_{2} = \frac{4}{63} : \frac{1}{2} = 8 : 63.

横浜国立大学 2023年度文系数学 第3問

問題

方針

解法1

解法2（重心座標の消滅時刻と行列式面積を使う方法）

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2（重心座標の消滅時刻と行列式面積を使う方法）

(1)(2)

(3)

(4)

横浜国立大学 2023年度
文系数学第3問