横浜国立大学 2023年度 前期文系数学 第3問

(1) $$\overrightarrow{AX}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}$$より$$\overrightarrow{OX}=(1-s-t)\vec{a}+s\vec{b}+t\vec{c}$$である。したがって$$\overrightarrow{DX}=(-3-s-t)\vec{a}+(s-3)\vec{b}+(t-2)\vec{c}$$であり、$$\overrightarrow{OD}+u\overrightarrow{DX}=\{4-u(3+s+t)\}\vec{a}+\{3+u(s-3)\}\vec{b}+\{2+u(t-2)\}\vec{c}$$である。

(2)
点$P$は平面$OAB$上にあるので$\vec{c}$の係数が0となり、$2+\alpha (t-2)=0$である。よって$$\alpha =\frac{2}{2-t}$$である。同様に、点$Q$は平面$OBC$上にあるので$$\beta =\frac{4}{3+s+t}$$であり、点$R$は平面$OCA$上にあるので$$\gamma =\frac{3}{3-s}$$である。

(3)
$X$が$\mathrm{△}ABC$の辺上または内部にある条件は$s\geqq 0,t\geqq 0,s+t\leqq 1$である。さらに$$0<\alpha \leqq \beta \leqq \gamma$$より$$\frac{2}{2-t}\leqq \frac{4}{3+s+t},\frac{4}{3+s+t}\leqq \frac{3}{3-s}$$である。整理すると$$s+3t\leqq 1,7s+3t\geqq 3$$となる。$s+3t\leqq 1$なら$s+t\leqq 1$も成り立つので、求める範囲は$$s\geqq 0,t\geqq 0,s+3t\leqq 1,7s+3t\geqq 3$$で表される三角形の周および内部である。その頂点は$$(\frac{3}{7},0),(1,0),(\frac{1}{3},\frac{2}{9})$$である。

(4)
$st$平面で$\mathrm{△}ABC$全体に対応する範囲は、頂点$(0,0),(1,0),(0,1)$をもつ三角形で、その面積は${\displaystyle \frac{1}{2}}$である。(3)の三角形の面積は$$\frac{1}{2}(1-\frac{3}{7})\cdot \frac{2}{9}=\frac{4}{63}$$である。$X$と$(s,t)$の対応は面積比を保つので$$S_1:S_2=\frac{4}{63}:\frac{1}{2}=8:63$$である。

$A,B,C$ に関する係数を重心座標とみなし、DからXへ進むとき各係数が0になる時刻を求める。時刻の順序が一次不等式を与える。最後の面積は頂点の行列式で求める。

(1) (2)
Xの重心座標は $(1-s-t,s,t)$、Dの係数は $(4,3,2)$ である。DからXへ割合 $u$ だけ進んだ点の係数は$$(4-u(3+s+t),3-u(3-s),2-u(2-t))\mathrm{.}$$平面OAB、OBC、OCAではそれぞれ第3、第1、第2成分が0になるから$$\alpha =\frac{2}{2-t},\beta =\frac{4}{3+s+t},\gamma =\frac{3}{3-s}\mathrm{.}$$(3)
三角形ABC内の条件 $s\geqq 0,t\geqq 0,s+t\leqq 1$ のもとでは各分母は正である。よって$$\alpha \leqq \beta ⟺s+3t\leqq 1,\beta \leqq \gamma ⟺7s+3t\geqq 3.$$前者から $s+t\leqq 1$ も従うので、領域は$$s\geqq 0,t\geqq 0,s+3t\leqq 1,7s+3t\geqq 3$$である。境界線の交点を求めると頂点は$$(\frac{3}{7},0),(1,0),(\frac{1}{3},\frac{2}{9})$$となる。(4)
上の3頂点を $U,V,W$ とすると、行列式により領域の面積は$$\frac{1}{2}\mid \det (V-U,W-U)\mid =\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{7}\cdot \frac{2}{9}=\frac{4}{63}\mathrm{.}$$一方、三角形ABC全体に対応する $st$ 領域の面積は $1\mathrm{/}2$ である。写像
$X=A+s(B-A)+t(C-A)$ は一定の面積倍率をもつので$$S_1:S_2=\frac{4}{63}:\frac{1}{2}=8:63.$$