横浜国立大学 2025年度 前期文系数学 第1問

中身の見えない箱が1つあり，その中に白いカードが4枚，黒いカードが3枚入っている。

以下の操作IからIVを順に一度ずつ行う。

操作I　箱からカードを無作為に1枚取り出し，手元に置く。

操作II　箱からカードを無作為に1枚取り出し，手元に置く。

操作III　箱からカードを無作為に1枚取り出し，手元に置き，操作Iで取り出したカードを箱の中に戻す。

操作IV　箱からカードを無作為に1枚取り出し，手元に置き，操作IIIで取り出したカードを箱の中に戻す。

例えば，操作I，II，III，IVで白，黒，黒，白の順でカードが取り出されたとする。箱の中に入っているカードの枚数を$$\left(\begin{array}{c}\text{白いカードの枚数}\\ \text{黒いカードの枚数}\end{array}\right)$$で表すとき，箱の中はのように変化してゆく。

次の問いに答えよ。

(1) 操作IIIを終えたときに箱の中に入っている白いカードの枚数が3である確率を求めよ。

(2) 操作IIIを終えたときに箱の中に入っている白いカードの枚数と，操作IVを終えたときに箱の中に入っている黒いカードの枚数が同じである確率を求めよ。

(3) 操作IVを終えたときに箱の中に入っている白いカードの枚数が4であったという条件のもとで，操作IIIを終えたときに箱の中に入っている白いカードの枚数が3である条件付き確率を求めよ。