横浜国立大学 2019年度理系数学第3問解答・解説

問題

$n$ を3以上の整数とする。1個のさいころを $n$ 回投げたときに，出た目を大きい順に並べたものを

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n} (X_{1} ≧ X_{2} ≧ \dots ≧ X_{n})

とする。たとえば，1個のさいころを5回投げて，出た目が順に $4, 5, 3, 4, 2$ であったとすると，

X_{1} = 5, X_{2} = 4, X_{3} = 4, X_{4} = 3, X_{5} = 2

となる。1個のさいころを $n$ 回投げたとき，次の事象が起こる確率をそれぞれ求めよ。

(1) $X_{n} = 2$

(2) $X_{2} = 6$

(3) $X_{2} = 6$ かつ $X_{n} = 2$

出典：横浜国立大学 2019年度前期理系第3問

方針

解法1

出目列は順序つきで $6^{n}$ 通りとする。(1) は最小値が2，すなわち全て2以上かつ少なくとも1回は2。(2) は6が少なくとも2回出ること。(3) は全て2以上，少なくとも1回は2，かつ6が少なくとも2回出ることを，まず2以上の5種類で数え，そこから2が出ない場合を引く。

解法2

6の出た回数を $j$ と固定して二項係数で数える。(3)では、残りの $n - j$ 回が $2, 3, 4, 5$ から選ばれ、少なくとも1回は2になる列を数える。

解答

解法1

(1)

$X_{n} = 2$ は，すべての出目が2以上で，かつ少なくとも1回は2が出ることと同値である。したがって有利な出方は $5^{n} - 4^{n}$ 通りであり，

Pr (X_{n} = 2) = \frac{5 ^{n} - 4 ^{n}}{6 ^{n}} .

(2)

$X_{2} = 6$ は，6の出る回数が2回以上であることと同値である。6が0回または1回の列を除くと，有利な出方は

6^{n} - 5^{n} - n 5^{n - 1}

通りである。よって

Pr (X_{2} = 6) = \frac{6 ^{n} - 5 ^{n} - n 5 ^{n - 1}}{6 ^{n}} .

(3)

まず，すべての出目が2以上で，かつ6が2回以上出る出方は

5^{n} - 4^{n} - n 4^{n - 1}

通りである。このうち2が一度も出ないものは

4^{n} - 3^{n} - n 3^{n - 1}

通りである。したがって有利な出方は

5^{n} - 4^{n} - n 4^{n - 1} - (4^{n} - 3^{n} - n 3^{n - 1})

= 5^{n} - 2 \cdot 4^{n} + 3^{n} - n 4^{n - 1} + n 3^{n - 1}

通りである。よって

Pr (X_{2} = 6, X_{n} = 2) = \frac{5 ^{n} - 2 \cdot 4 ^{n} + 3 ^{n} - n 4 ^{n - 1} + n 3 ^{n - 1}}{6 ^{n}} .

解法2

(1)

最小値が2であるためには、出目がすべて $2, 3, 4, 5, 6$ に入り、そこから2を使わない列を除けばよい。したがって

Pr (X_{n} = 2) = \frac{5 ^{n} - 4 ^{n}}{6 ^{n}} .

(2)

6の出る回数を $j$ とする。 $j ≧ 2$ のとき、6の位置を選んだ後の各位置には5通りあるので

Pr (X_{2} = 6) = \frac{1}{6 ^{n}} j = 2 \sum n_{n} C_{j} 5^{n - j} .

二項定理から

j = 2 \sum n_{n} C_{j} 5^{n - j} = 6^{n} - 5^{n} - n 5^{n - 1}

であり、解法1と同じ式を得る。

(3)

6が $j$ 回出たとする。残りの $n - j$ 回は $2, 3, 4, 5$ の4種類から選び、少なくとも1回は2が必要だから、その列は

4^{n - j} - 3^{n - j}

通りである。よって有利な列の総数は

j = 2 \sum n_{n} C_{j} (4^{n - j} - 3^{n - j}) . (1)

二項定理でそれぞれの和を整理すると

j = 2 \sum n_{n} C_{j} 4^{n - j} = 5^{n} - 4^{n} - n 4^{n - 1},

j = 2 \sum n_{n} C_{j} 3^{n - j} = 4^{n} - 3^{n} - n 3^{n - 1} .

したがって(1)を引き算して

Pr (X_{2} = 6, X_{n} = 2) = \frac{5 ^{n} - 2 \cdot 4 ^{n} + 3 ^{n} - n 4 ^{n - 1} + n 3 ^{n - 1}}{6 ^{n}} .

横浜国立大学 2019年度理系数学 第3問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

横浜国立大学 2019年度
理系数学第3問