横浜国立大学 2019年度文系数学第1問解答・解説

問題

赤色，白色，黄色の3つのさいころを同時に投げ，それぞれのさいころの出た目を $x, y, z$ とする。 $x$ と $y$ の最小値を $m$ ，最大値を $M$ とする。次の問いに答えよ。

(1) $m ≦ z ≦ M$ となる確率を求めよ。

(2) $m ≦ z ≦ M$ という条件の下で， $M - m = 3$ となる条件付き確率を求めよ。

出典：横浜国立大学 2019年度前期文系第1問

$(x, y)$ を固定すると， $z$ の許される個数は $∣ x - y ∣ + 1$ 個である。これをすべての順序つきの $(x, y)$ について数える。(2) は $∣ x - y ∣ = 3$ の順序つきの組だけを数え，(1)の事象の個数で割る。

差 $d = ∣ x - y ∣$ ごとに、順序つき組 $(x, y)$ の個数と許される $z$ の個数を表にする。条件付き確率の分子は、その表の $d = 3$ の行だけを取り出せばよい。

$(x, y)$ を固定すると， $m ≦ z ≦ M$ をみたす $z$ の個数は

M - m + 1 = ∣ x - y ∣ + 1

である。したがって有利な出方の総数は

x = 1 \sum 6 y = 1 \sum 6 (∣ x - y ∣ + 1)

である。ここで

x = 1 \sum 6 y = 1 \sum 6 ∣ x - y ∣ = 2 {1 \cdot 5 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 3 + 4 \cdot 2 + 5 \cdot 1} = 70

だから，有利な出方は $70 + 36 = 106$ 通りである。全事象は $6^{3} = 216$ 通りなので，求める確率は

\frac{106}{216} = \frac{53}{108}

である。

$M - m = 3$ は $∣ x - y ∣ = 3$ と同値である。このような順序つきの $(x, y)$ は

2 (6 - 3) = 6

通りあり，各場合で $z$ は4通りである。したがって， $m ≦ z ≦ M$ かつ $M - m = 3$ となる出方は $6 \cdot 4 = 24$ 通りである。

よって条件付き確率は

\frac{24}{106} = \frac{12}{53}

である。

$d = ∣ x - y ∣$ とおく。 $d = 0$ のとき順序つき組 $(x, y)$ は6通り、 $1 ≦ d ≦ 5$ のときは $2 (6 - d)$ 通りである。また、各組に対して $z$ は $d + 1$ 通り選べる。

d # (x, y) # z 積 061611022028324364244452052612

よって条件をみたす出方は

6 + 20 + 24 + 24 + 20 + 12 = 106

通りである。したがって

\frac{106}{6 ^{3}} = \frac{53}{108}

となる。

条件 $M - m = 3$ は $d = 3$ である。表より、もとの条件も同時にみたす出方は24通りだから、求める条件付き確率は

\frac{24}{106} = \frac{12}{53}

である。分母は全216通りではなく、条件 $m ≦ z ≦ M$ をみたす106通りであることに注意する。