横浜国立大学 2019年度 前期文系数学 第1問

(1)
$(x,y)$ を固定すると，$m\leqq z\leqq M$ をみたす $z$ の個数は$$M-m+1=\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }+1$$である。したがって有利な出方の総数は$$\sum _{x=1}^6\sum _{y=1}^6(\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }+1)$$である。ここで$$\sum _{x=1}^6\sum _{y=1}^6\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }=2\{1\cdot 5+2\cdot 4+3\cdot 3+4\cdot 2+5\cdot 1\}=70$$だから，有利な出方は $70+36=106$ 通りである。全事象は $6^3=216$ 通りなので，求める確率は$$\frac{106}{216}=\frac{53}{108}$$である。

(2)
$M-m=3$ は $\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }=3$ と同値である。このような順序つきの $(x,y)$ は$$2(6-3)=6$$通りあり，各場合で $z$ は4通りである。したがって，$m\leqq z\leqq M$ かつ $M-m=3$ となる出方は $6\cdot 4=24$ 通りである。

よって条件付き確率は$$\frac{24}{106}=\frac{12}{53}$$である。

差 $d=\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }$ ごとに、順序つき組 $(x,y)$ の個数と許される $z$ の個数を表にする。条件付き確率の分子は、その表の $d=3$ の行だけを取り出せばよい。

(1)
$d=\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }$ とおく。$d=0$ のとき順序つき組 $(x,y)$ は6通り、$1\leqq d\leqq 5$ のときは $2(6-d)$ 通りである。また、各組に対して $z$ は $d+1$ 通り選べる。$$\begin{array}{crrrrrr}d& 0& 1& 2& 3& 4& 5\\ \mathrm{\#}(x,y)& 6& 10& 8& 6& 4& 2\\ \mathrm{\#}z& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ \text{積}& 6& 20& 24& 24& 20& 12\end{array}$$よって条件をみたす出方は$$6+20+24+24+20+12=106$$通りである。したがって$$\frac{106}{6^3}=\frac{53}{108}$$となる。

(2)
条件 $M-m=3$ は $d=3$ である。表より、もとの条件も同時にみたす出方は24通りだから、求める条件付き確率は$$\frac{24}{106}=\frac{12}{53}$$である。分母は全216通りではなく、条件 $m\leqq z\leqq M$ をみたす106通りであることに注意する。