横浜国立大学 2020年度理系数学第2問解答・解説

問題

次の問いに答えよ。

(1) 実数 $A, B, C, D$ に対して

z = \frac{A + 5 B i}{C + 5 D i}

と定める。ただし

C + 5 D i \neq = 0

とする。 $z = x + y i$ を満たす実数 $x, y$ を $A, B, C, D$ の式で表せ。

(2) 次を満たす整数 $A, B, C, D$ を求めよ。

⎩ ⎨ ⎧ \frac{16 + 5 i}{29} = \frac{A + 5 B i}{C + 5 D i}, A D - B C = - 1, D > 0

出典：横浜国立大学 2020年度前期理系第2問

方針

解法1（共役複素数を掛けて実部・虚部を比較する）

(1)は分母の共役複素数を掛ける。(2)は虚部と $A D - B C = - 1$ を組み合わせて $C^{2} + 5 D^{2} = 29$ を得て、 $D > 0$ の整数条件で候補を絞る。

解法2（もとの等式を交差に掛ける）

分数形の複素数をそのまま交差に掛け、実部と虚部の一次式を作る。そこから $A D - B C$ を計算すると、 $A, B$ が消えて $C^{2} + 5 D^{2} = 29$ が直接得られる。

解答

解法1（共役複素数を掛けて実部・虚部を比較する）

(1)

分母の共役複素数を掛けると

z = \frac{( A + 5 B i ) ( C - 5 D i )}{C ^{2} + 5 D ^{2}} = \frac{A C + 5 B D}{C ^{2} + 5 D ^{2}} + \frac{5 ( B C - A D )}{C ^{2} + 5 D ^{2}} i .

したがって

x = \frac{A C + 5 B D}{C ^{2} + 5 D ^{2}}, y = \frac{5 ( B C - A D )}{C ^{2} + 5 D ^{2}} .

(2)

条件 $A D - B C = - 1$ から

B C - A D = 1.

虚部を比較すると

\frac{5}{C ^{2} + 5 D ^{2}} = \frac{5}{29}

だから

C^{2} + 5 D^{2} = 29.

$D > 0$ であり、 $D ≧ 3$ なら左辺は45以上になる。 $D = 1$ では $C^{2} = 24$ となり不適で、 $D = 2$ では

C^{2} = 9.

よって

D = 2, C = \pm 3.

実部の比較から

A C + 5 B D = 16.

$C = 3, D = 2$ のとき

3 A + 10 B = 16, 2 A - 3 B = - 1

となるが、解は整数でない。

$C = - 3, D = 2$ のとき

- 3 A + 10 B = 16, 2 A + 3 B = - 1.

これを解くと

A = - 2, B = 1.

したがって

(A, B, C, D) = (- 2, 1, - 3, 2) .

解法2（もとの等式を交差に掛ける）

(1)

共役複素数を掛ければ

x = \frac{A C + 5 B D}{C ^{2} + 5 D ^{2}}, y = \frac{5 ( B C - A D )}{C ^{2} + 5 D ^{2}} .

(2)

与えられた複素数の等式を交差に掛けると

29 (A + 5 B i) = (16 + 5 i) (C + 5 D i) .

右辺を展開して実部・虚部を比較すると

29 A = 16 C - 5 D, 29 B = C + 16 D .

したがって

A = \frac{16 C - 5 D}{29}, B = \frac{C + 16 D}{29} .

これを $A D - B C$ に代入すると

A D - B C = \frac{D ( 16 C - 5 D ) - C ( C + 16 D )}{29} = - \frac{C ^{2} + 5 D ^{2}}{29} .

条件 $A D - B C = - 1$ より

C^{2} + 5 D^{2} = 29.

$D > 0$ から

D = 2, C = \pm 3.

$C = 3, D = 2$ では

A = \frac{38}{29}, B = \frac{35}{29}

となって整数でない。一方 $C = - 3, D = 2$ では

A = - 2, B = 1.

よって

(A, B, C, D) = (- 2, 1, - 3, 2)

である。

横浜国立大学 2020年度理系数学 第2問

問題

方針

解法1（共役複素数を掛けて実部・虚部を比較する）

解法2（もとの等式を交差に掛ける）

解答

解法1（共役複素数を掛けて実部・虚部を比較する）

(1)

(2)

解法2（もとの等式を交差に掛ける）

(1)

(2)

横浜国立大学 2020年度
理系数学第2問