横浜国立大学 2024年度理系数学第2問解答・解説

問題

1辺の長さが1の正六角形 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}$ がある。

1個のさいころを続けて5回投げ，出た目を順に $n_{1}$ ， $n_{2}$ ， $n_{3}$ ， $n_{4}$ ， $n_{5}$ とおく。次の条件付き確率をそれぞれ求めよ。

(1) 「 $n_{1}$ ， $n_{2}$ ， $n_{3}$ がすべて異なる」という条件のもとで，「三角形 $A_{n_{1}} A_{n_{2}} A_{n_{3}}$ の面積が $\frac{3}{2}$ である」という条件付き確率

(2) 「 $n_{1}$ ， $n_{2}$ ， $n_{3}$ がすべて異なり，かつ， $n_{4} \neq = n_{5}$ である」という条件のもとで，「線分 $A_{n_{4}} A_{n_{5}}$ が三角形 $A_{n_{1}} A_{n_{2}} A_{n_{3}}$ の面積を2等分する」という条件付き確率

出典：横浜国立大学 2024年度前期理系第2問

方針

解法1：円周上の間隔で三角形を分類

3頂点間の円周上の間隔を、和が6となる3つの正整数で分類する。(2)では回転で同一視した4種類の三角形について、面積を二等分する直径を表にして数える。

解法2：座標と回転軌道で全候補を検査

正六角形を単位円上に座標化する。三角形の面積は行列式で、線分による二等分は交点が対辺の中点になるかで判定し、回転軌道ごとに候補を整理する。

解答

解法1：円周上の間隔で三角形を分類

(1)

異なる3頂点を円周に沿って並べ、その間の辺の本数を $p, q, r$ とすると

p + q + r = 6, p, q, r ≧ 1

である。順序を除いた型、個数、面積は

間隔の型 (1, 1, 4) (1, 2, 3) (2, 2, 2) 三角形の個数 6122 面積 \frac{3}{4} \frac{3}{2} \frac{3 3}{4}

となる。例えば $(1, 2, 3)$ 型は、辺の長さが $1, 3, 2$ の直角三角形である。したがって、面積が $3 /2$ となる三角形は12個である。

条件のもとで $(n_{1}, n_{2}, n_{3})$ は $6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$ 通りであり、1つの三角形につき頂点の順序は $3! = 6$ 通りある。よって

\frac{12 \cdot 6}{120} = \frac{3}{5}

である。

(2)

まず三角形と線分の向きを無視する。20個の三角形は回転によって次の4型に分かれる。表中の線分はいずれも直径で、三角形の1頂点とその対辺の中点を通るため面積を二等分する。

代表三角形 A_{1} A_{2} A_{3} A_{1} A_{2} A_{4} A_{1} A_{2} A_{5} A_{1} A_{3} A_{5} 同型の個数 6662 代表となる二等分線分 A_{2} A_{5} A_{2} A_{5} A_{1} A_{4} A_{1} A_{4}, A_{2} A_{5}, A_{3} A_{6} 1 三角形当たりの本数 1113

各代表について残りの頂点間線分も調べると、表に挙げたもの以外は二等分しない。したがって、向きを無視した有利な組は

6 + 6 + 6 + 2 \cdot 3 = 24

組である。

全体は、三角形が $_{6} C_{3} = 20$ 通り、異なる2頂点を結ぶ線分が $_{6} C_{2} = 15$ 通りである。頂点の順序 $3!$ と線分の向き2通りは分子・分母で共通に掛かるので、

\frac{24}{20 \cdot 15} = \frac{2}{25}

となる。

解法2：座標と回転軌道で全候補を検査

(1)

中心を原点とし、

A_{j} = (cos \frac{( j - 1 ) π}{3}, sin \frac{( j - 1 ) π}{3}) (j = 1, 2, \dots, 6)

とおく。この正六角形の1辺は1である。異なる3点 $X, Y, Z$ について

\frac{1}{2} det (X Y, X Z)

を計算すると、20個の三角形は

面積 \frac{3}{4}, \frac{3}{2}, \frac{3 3}{4} がそれぞれ 6, 12, 2 個

となる。よって

\frac{12}{_{6} C _{3}} = \frac{3}{5} .

(2)

同じ座標で20三角形と15本の頂点間線分を調べる。回転軌道の代表、軌道の大きさ、1三角形を二等分する線分数は

代表 大きさ 本数 {1, 2, 3} 61 {1, 2, 4} 61 {1, 2, 5} 61 {1, 3, 5} 23

である。前3型ではそれぞれ直径 $A_{2} A_{5}, A_{2} A_{5}, A_{1} A_{4}$ が1頂点と対辺の中点を通り、最後の正三角形では3本の直径が中線となる。座標の平均を取るとこれら以外の線分は中点を通らない。したがって有利な無向の組は

6 + 6 + 6 + 2 \cdot 3 = 24

組、全体は $_{6} C_{3}_{6} C_{2} = 20 \cdot 15$ 組なので

\frac{24}{20 \cdot 15} = \frac{2}{25} .

横浜国立大学 2024年度理系数学 第2問

問題

方針

解法1：円周上の間隔で三角形を分類

解法2：座標と回転軌道で全候補を検査

解答

解法1：円周上の間隔で三角形を分類

(1)

(2)

解法2：座標と回転軌道で全候補を検査

(1)

(2)

横浜国立大学 2024年度
理系数学第2問