広島大学 2017年度 前期文系数学 第2問

(1)
$C=(c,0)$とおく。$$\overrightarrow{BO}=(-1,-2)$$，$$\overrightarrow{BC}=(c-1,-2)$$であり，$\mathrm{\angle }OBC={45}^{\circ }$より$$\frac{5-c}{\sqrt{5}\sqrt{(c-1{)}^2+4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$である。これを解くと$3c^2+10c-25=0$となり，線分$OA$上にあるから$c=\frac{5}{3}$である。よって直線$BC$の傾きは$-3$である。

$P=(t,0)$を通り傾きが$1$の直線は$y=x-t$，直線$AB$は$y=-x+3$である。したがって$$Q(\frac{t+3}{2},\frac{3-t}{2})$$である。

(2)
直線$OB$は$y=2x$であり，これに垂直な直線の傾きは$-\frac{1}{2}$である。$R=(x,2x)$とおくと，$QR$の傾きが$-\frac{1}{2}$であることから$$2x-\frac{3-t}{2}=-\frac{1}{2}(x-\frac{t+3}{2})$$となる。これを解いて$$R(\frac{9-t}{10},\frac{9-t}{5})$$を得る。

(3)
$R$を通り傾き$-3$の直線は$$y-\frac{9-t}{5}=-3(x-\frac{9-t}{10})$$である。$y=0$とおくと$$x=\frac{9-t}{6}$$であるから$$P^{\mathrm{\prime }}(\frac{9-t}{6},0)$$である。

(4)
(3)より$$f(t)=\frac{9-t}{6}$$であるから$$t_{n+1}=\frac{3}{2}-\frac{1}{6}{t}_n$$である。固定値$\alpha$は$$\alpha =\frac{3}{2}-\frac{1}{6}\alpha$$より$\alpha =\frac{9}{7}$である。したがって$$t_{n+1}-\frac{9}{7}=-\frac{1}{6}(t_n-\frac{9}{7})$$であり，$t_1=2$から$$t_n=\frac{9}{7}+\frac{5}{7}{(-\frac{1}{6})}^{n-1}$$である。

各操作を座標のアフィン変換として合成し，$P=(t,0)$ から $P^{\mathrm{\prime }}=(f(t),0)$ への写像を一度に求める。

(1) $AB:y=-x+3$ と $P$ を通る $y=x-t$ の交点より$$Q=(\frac{t+3}{2},\frac{3-t}{2})\mathrm{.}$$(2) $OB$ への正射影公式を用いると$$R=\frac{Q\cdot (1,2)}{5}(1,2)=(\frac{9-t}{10},\frac{9-t}{5})\mathrm{.}$$(3) $\mathrm{\angle }OBC={45}^{\circ }$ と $C\in OA$ から $C=(5\mathrm{/}3,0)$，よって $BC$ の傾きは $-3$。$R$ を通る平行線と $y=0$ の交点は$$P^{\mathrm{\prime }}=(\frac{9-t}{6},0)\mathrm{.}$$(4) $t_{n+1}=(9-t_n)\mathrm{/}6$。固定点 $9\mathrm{/}7$ との差を取れば$$t_n-\frac{9}{7}={(-\frac{1}{6})}^{n-1}(2-\frac{9}{7}),$$したがって$$t_n=\frac{9}{7}+\frac{5}{7}{(-\frac{1}{6})}^{n-1}\mathrm{.}$$