広島大学 2017年度文系数学第2問解答・解説

問題

座標平面上の $3$ 点 $O (0, 0), A (3, 0), B (1, 2)$ を考える． $C$ を線分 $O A$ 上にあり， $∠ O B C = 4 5^{\circ}$ を満たす点とする．また， $P$ を $x$ 座標が $t$ である直線 $O A$ 上の点とする．点 $Q, R, P^{'}$ を次により定める．(a) 点 $P$ を通り傾きが $1$ の直線と，直線 $A B$ の交点を $Q$ とする．(b) 点 $Q$ を通り直線 $O B$ に垂直な直線と，直線 $O B$ の交点を $R$ とする．(c) 点 $R$ を通り直線 $B C$ と同じ傾きをもつ直線と，直線 $O A$ の交点を $P^{'}$ とする．次の問いに答えよ．(1)　点 $Q$ の座標を $t$ を用いて表せ．(2)　点 $R$ の座標を $t$ を用いて表せ．(3)　点 $P^{'}$ の座標を $t$ を用いて表せ．(4)　点 $P^{'}$ の $x$ 座標を $f (t)$ とする．数列 ${t_{n}}$ を $t_{1} = 2, t_{n + 1} = f (t_{n}) (n = 1, 2, 3, \dots)$ により定める．数列 ${t_{n}}$ の一般項を求めよ．

出典：広島大学 2017年度前期文系第2問

方針

解法1

まず $C = (c, 0)$ を角度条件から求め，直線 $B C$ の傾きを確定する。点 $Q$ ， $R$ ， $P^{'}$ は直線の交点計算で順に求める。最後は一次漸化式 $t_{n + 1} = \frac{9 - t _{n}}{6}$ を固定値からの差に直して解く。

解法2

各操作を座標のアフィン変換として合成し， $P = (t, 0)$ から $P^{'} = (f (t), 0)$ への写像を一度に求める。

解答

解法1

(1)

$C = (c, 0)$ とおく。 $B O = (- 1, - 2)$ ， $B C = (c - 1, - 2)$ であり， $∠ O B C = 4 5^{\circ}$ より

\frac{5 - c}{5 ( c - 1 ) ^{2} + 4} = \frac{1}{2}

である。これを解くと $3 c^{2} + 10 c - 25 = 0$ となり，線分 $O A$ 上にあるから $c = \frac{5}{3}$ である。よって直線 $B C$ の傾きは $- 3$ である。

$P = (t, 0)$ を通り傾きが $1$ の直線は $y = x - t$ ，直線 $A B$ は $y = - x + 3$ である。したがって

Q (\frac{t + 3}{2}, \frac{3 - t}{2})

である。

(2)

直線 $O B$ は $y = 2 x$ であり，これに垂直な直線の傾きは $- \frac{1}{2}$ である。 $R = (x, 2 x)$ とおくと， $QR$ の傾きが $- \frac{1}{2}$ であることから

2 x - \frac{3 - t}{2} = - \frac{1}{2} (x - \frac{t + 3}{2})

となる。これを解いて

R (\frac{9 - t}{10}, \frac{9 - t}{5})

を得る。

(3)

$R$ を通り傾き $- 3$ の直線は

y - \frac{9 - t}{5} = - 3 (x - \frac{9 - t}{10})

である。 $y = 0$ とおくと

x = \frac{9 - t}{6}

であるから

P^{'} (\frac{9 - t}{6}, 0)

である。

(4)

(3)より $f (t) = \frac{9 - t}{6}$ であるから

t_{n + 1} = \frac{3}{2} - \frac{1}{6} t_{n}

である。固定値 $α$ は $α = \frac{3}{2} - \frac{1}{6} α$ より $α = \frac{9}{7}$ である。したがって

t_{n + 1} - \frac{9}{7} = - \frac{1}{6} (t_{n} - \frac{9}{7})

であり， $t_{1} = 2$ から

t_{n} = \frac{9}{7} + \frac{5}{7} (- \frac{1}{6})^{n - 1}

である。

解法2

(1)

$A B : y = - x + 3$ と $P$ を通る $y = x - t$ の交点より

Q = (\frac{t + 3}{2}, \frac{3 - t}{2}) .

(2)

$O B$ への正射影公式を用いると

R = \frac{Q \cdot ( 1 , 2 )}{5} (1, 2) = (\frac{9 - t}{10}, \frac{9 - t}{5}) .

(3)

$∠ O B C = 4 5^{\circ}$ と $C \in O A$ から $C = (5/3, 0)$ ，よって $B C$ の傾きは $- 3$ 。 $R$ を通る平行線と $y = 0$ の交点は

P^{'} = (\frac{9 - t}{6}, 0) .

(4)

$t_{n + 1} = (9 - t_{n}) /6$ 。固定点 $9/7$ との差を取れば

t_{n} - \frac{9}{7} = (- \frac{1}{6})^{n - 1} (2 - \frac{9}{7}),

したがって

t_{n} = \frac{9}{7} + \frac{5}{7} (- \frac{1}{6})^{n - 1} .

広島大学 2017年度文系数学 第2問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2017年度
文系数学第2問