広島大学 2017年度文系数学第3問解答・解説

問題

$n$ を $2$ 以上の整数とする． $n$ 個のさいころを投げ，出た目のすべての積を $X$ とする．次の問いに答えよ．(1)　 $X$ が $5$ の倍数である確率を $n$ を用いて表せ．(2)　 $X$ が $5$ の倍数である確率が $0.99$ より大きくなる最小の $n$ を求めよ．ただし， $lo g_{2} 3 = 1.585, lo g_{2} 5 = 2.322$ とする．(3)　 $X$ が $3$ でも $5$ でも割り切れない確率を $n$ を用いて表せ．(4)　 $X$ が $15$ の倍数である確率を $n$ を用いて表せ．

出典：広島大学 2017年度前期文系第3問

方針

解法1

積が特定の素因数を含むかどうかを，さいころの各目がその素因数を含まない事象の余事象として扱う。(2)は(1)の式を対数で比較し，(4)は $3$ の倍数である事象と $5$ の倍数である事象に対して包除原理を用いる。

解法2

1回の出目を「3を含む・5を含む・どちらも含まない」に分類し，積が素因数を含む事象を包除原理で数える。

解答

解法1

(1)

$X$ が $5$ の倍数でないのは，すべてのさいころで $5$ 以外の目が出る場合である。したがって求める確率は

1 - (\frac{5}{6})^{n}

である。

(2)

(1)より

1 - (\frac{5}{6})^{n} > 0.99

であればよい。これは $(\frac{6}{5})^{n} > 100$ と同値である。底を $2$ とする対数をとると

n (lo g_{2} 6 - lo g_{2} 5) > lo g_{2} 100

である。与えられた値より

lo g_{2} 6 - lo g_{2} 5 = (1 + 1.585) - 2.322 = 0.263

かつ

lo g_{2} 100 = 2 (1 + 2.322) = 6.644

である。 $25 \cdot 0.263 = 6.575$ ， $26 \cdot 0.263 = 6.838$ だから，最小の $n$ は

26

である。

(3)

$X$ が $3$ でも $5$ でも割り切れないためには，各さいころの目が $1, 2, 4$ のいずれかであればよい。よって求める確率は

(\frac{3}{6})^{n} = (\frac{1}{2})^{n}

である。

(4)

$X$ が $3$ の倍数でない確率は $(\frac{2}{3})^{n}$ ， $5$ の倍数でない確率は $(\frac{5}{6})^{n}$ ， $3$ でも $5$ でも割り切れない確率は(3)より $(\frac{1}{2})^{n}$ である。したがって包除原理より， $X$ が $15$ の倍数である確率は

1 - (\frac{2}{3})^{n} - (\frac{5}{6})^{n} + (\frac{1}{2})^{n}

である。

解法2

(1)

5が一度も出ない確率は $(5/6)^{n}$ だから

1 - (\frac{5}{6})^{n} .

(2)

これが $0.99$ を超える条件は $(6/5)^{n} > 100$ 。与えられた対数から

n > \frac{6.644}{0.263},

かつ $25 \cdot 0.263 < 6.644 < 26 \cdot 0.263$ より最小は $26$ 。(3) 各出目が $1, 2, 4$ のいずれかなので

(\frac{1}{2})^{n} .

(4)

3を含まない確率は $(2/3)^{n}$ ，5を含まない確率は $(5/6)^{n}$ ，両方を含まない確率は $(1/2)^{n}$ 。よって

1 - (\frac{2}{3})^{n} - (\frac{5}{6})^{n} + (\frac{1}{2})^{n} .

広島大学 2017年度文系数学 第3問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2

(1)

(2)

(4)

広島大学 2017年度
文系数学第3問