広島大学 2017年度 前期文系数学 第3問

(1)
$X$が$5$の倍数でないのは，すべてのさいころで$5$以外の目が出る場合である。したがって求める確率は$$1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^n$$である。

(2)
(1)より$$1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^n>0.99$$であればよい。これは$${\left(\frac{6}{5}\right)}^n>100$$と同値である。底を$2$とする対数をとると$$n({\log }_{2}6-{\log }_{2}5)>{\log }_{2}100$$である。与えられた値より$${\log }_{2}6-{\log }_{2}5=(1+1.585)-2.322=0.263$$かつ$${\log }_{2}100=2(1+2.322)=6.644$$である。$25\cdot 0.263=6.575$，$26\cdot 0.263=6.838$だから，最小の$n$は$$26$$である。

(3)
$X$が$3$でも$5$でも割り切れないためには，各さいころの目が$1,2,4$のいずれかであればよい。よって求める確率は$${\left(\frac{3}{6}\right)}^n={\left(\frac{1}{2}\right)}^n$$である。

(4)
$X$が$3$の倍数でない確率は$(\frac{2}{3}{)}^n$，$5$の倍数でない確率は$(\frac{5}{6}{)}^n$，$3$でも$5$でも割り切れない確率は(3)より$(\frac{1}{2}{)}^n$である。したがって包除原理より，$X$が$15$の倍数である確率は$$1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n-{\left(\frac{5}{6}\right)}^n+{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$$である。

1回の出目を「3を含む・5を含む・どちらも含まない」に分類し，積が素因数を含む事象を包除原理で数える。

(1) 5が一度も出ない確率は $(5\mathrm{/}6{)}^n$ だから$$1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^n\mathrm{.}$$(2) これが $0.99$ を超える条件は $(6\mathrm{/}5{)}^n>100$。与えられた対数から$$n>\frac{6.644}{0.263},$$かつ $$25\cdot 0.263<6.644<26\cdot 0.263$$ より最小は $26$。
(3) 各出目が $1,2,4$ のいずれかなので$${\left(\frac{1}{2}\right)}^n\mathrm{.}$$(4) 3を含まない確率は $(2\mathrm{/}3{)}^n$，5を含まない確率は $(5\mathrm{/}6{)}^n$，両方を含まない確率は $(1\mathrm{/}2{)}^n$。よって$$1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n-{\left(\frac{5}{6}\right)}^n+{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\mathrm{.}$$