広島大学 2017年度 前期文系数学 第1問

(1) $$\sin \theta -\cos \theta =\sqrt{2}\sin (\theta -\frac{\pi }{4})$$である。条件より$$\sin (\theta -\frac{\pi }{4})>\frac{1}{\sqrt{2}}$$であり，$0\leqq \theta <2\pi$を考えると$$\frac{\pi }{2}<\theta <\pi$$である。

(2)
$u=\sin \theta -\cos \theta$とおく。(1)の範囲で$$1<u\leqq \sqrt{2}$$である。また$$u^2={\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta -2\sin \theta \cos \theta =1-2t$$であるから$$t=\frac{1-u^2}{2}$$となる。したがって$$-\frac{1}{2}\leqq t<0$$である。

(3) $$\begin{array}{rl}{\displaystyle L^2}& {\displaystyle =(\sin \theta -\cos \theta {)}^2+({\sin }^2\theta -{\cos }^2\theta {)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(\sin \theta -\cos \theta {)}^2\{1+(\sin \theta +\cos \theta {)}^2\}}\end{array}$$である。ここで$$(\sin \theta -\cos \theta {)}^2=1-2t$$，$$(\sin \theta +\cos \theta {)}^2=1+2t$$より$$L=\sqrt{2(1-2t)(1+t)}$$である。

(4)
(3)より$$L^2=2-2t-4t^2=\frac{9}{4}-4{(t+\frac{1}{4})}^2$$である。$-\frac{1}{2}\leqq t<0$だから，最大は$t=-\frac{1}{4}$のときで$$L=\frac{3}{2}$$となる。このとき$\sin 2\theta =2t=-\frac{1}{2}$より$$\theta =\frac{7\pi }{12},\frac{11\pi }{12}$$である。最小は$t=-\frac{1}{2}$のときで$$L=\sqrt{2}$$となる。このとき$\sin 2\theta =-1$より$$\theta =\frac{3\pi }{4}$$である。

$u=\sin \theta -\cos \theta$ を直接媒介変数にし，距離の二乗を $u$ の4次式として処理する。

(1) $$\sqrt{2}\sin (\theta -\pi \mathrm{/}4)>1$$ より$$\frac{\pi }{2}<\theta <\pi \mathrm{.}$$(2) この範囲で $$1<u=\sin \theta -\cos \theta \leqq \sqrt{2}$$ であり，$$t=\sin \theta \cos \theta =\frac{1-u^2}{2}$$だから $-1\mathrm{/}2\leqq t<0$ である。
(3)$$L^2=u^2\{1+(\sin \theta +\cos \theta {)}^2\}=u^2(3-u^2)=2(1-2t)(1+t)\mathrm{.}$$(4)$$L^2=\frac{9}{4}-4{(t+\frac{1}{4})}^2\mathrm{.}$$したがって最大値 $3\mathrm{/}2$ は $t=-1\mathrm{/}4$，すなわち$$\theta =\frac{7\pi }{12},\frac{11\pi }{12}$$で，最小値 $\sqrt{2}$ は $t=-1\mathrm{/}2$，すなわち $\theta =3\pi \mathrm{/}4$ で取る。