広島大学 2017年度文系数学第1問解答・解説

問題

座標平面上の $2$ 点 $A (sin θ, sin^{2} θ), B (cos θ, cos^{2} θ)$ を考え， $A, B$ 間の距離を $L$ とする．ただし， $θ$ は条件(＊)　 $0 ≦ θ < 2 π$ かつ $sin θ - cos θ - 1 > 0$ を満たすとする．次の問いに答えよ．(1)　(＊)を満たす $θ$ の値を求めよ．(2)　 $t = sin θ cos θ$ とおくとき， $t$ のとり得る値の範囲を求めよ．(3)　 $L$ を(2)の $t$ を用いて表せ．(4)　 $L$ の最大値，最小値を求めよ．また，そのときの $θ$ の値を求めよ．

出典：広島大学 2017年度前期文系第1問

方針

解法1

条件を $sin θ - cos θ$ で整理して $θ$ の範囲を出す。次に $u = sin θ - cos θ$ とおき， $u^{2} = 1 - 2 sin θ cos θ$ から $t$ の範囲を得る。距離は $(sin θ - cos θ)^{2}$ と $(sin^{2} θ - cos^{2} θ)^{2}$ に分け，最後は $t$ の二次式として最大最小を調べる。

解法2

$u = sin θ - cos θ$ を直接媒介変数にし，距離の二乗を $u$ の4次式として処理する。

解答

解法1

(1)

$sin θ - cos θ = 2 sin (θ - \frac{π}{4})$ である。条件より

sin (θ - \frac{π}{4}) > \frac{1}{2}

であり， $0 ≦ θ < 2 π$ を考えると

\frac{π}{2} < θ < π

である。

(2)

$u = sin θ - cos θ$ とおく。(1)の範囲で $1 < u ≦ 2$ である。また

u^{2} = sin^{2} θ + cos^{2} θ - 2 sin θ cos θ = 1 - 2 t

であるから

t = \frac{1 - u ^{2}}{2}

となる。したがって

- \frac{1}{2} ≦ t < 0

である。

(3)

L^{2} = (sin θ - cos θ)^{2} + (sin^{2} θ - cos^{2} θ)^{2} = (sin θ - cos θ)^{2} {1 + (sin θ + cos θ)^{2}}

である。ここで $(sin θ - cos θ)^{2} = 1 - 2 t$ ， $(sin θ + cos θ)^{2} = 1 + 2 t$ より

L = 2 (1 - 2 t) (1 + t)

である。

(4)

(3)より

L^{2} = 2 - 2 t - 4 t^{2} = \frac{9}{4} - 4 (t + \frac{1}{4})^{2}

である。 $- \frac{1}{2} ≦ t < 0$ だから，最大は $t = - \frac{1}{4}$ のときで

L = \frac{3}{2}

となる。このとき $sin 2 θ = 2 t = - \frac{1}{2}$ より

θ = \frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12}

である。最小は $t = - \frac{1}{2}$ のときで

L = 2

となる。このとき $sin 2 θ = - 1$ より

θ = \frac{3 π}{4}

である。

解法2

(1)

$2 sin (θ - π /4) > 1$ より

\frac{π}{2} < θ < π .

(2)

この範囲で $1 < u = sin θ - cos θ ≦ 2$ であり，

t = sin θ cos θ = \frac{1 - u ^{2}}{2}

だから $- 1/2 ≦ t < 0$ である。(3)

L^{2} = u^{2} {1 + (sin θ + cos θ)^{2}} = u^{2} (3 - u^{2}) = 2 (1 - 2 t) (1 + t) .

(4)

L^{2} = \frac{9}{4} - 4 (t + \frac{1}{4})^{2} .

したがって最大値 $3/2$ は $t = - 1/4$ ，すなわち

θ = \frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12}

で，最小値 $2$ は $t = - 1/2$ ，すなわち $θ = 3 π /4$ で取る。

広島大学 2017年度文系数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2

(1)

(2)

(4)

広島大学 2017年度
文系数学第1問