広島大学 2017年度 前期文系数学 第4問

(1)
交点では$4x^3-1=x^3$であるから，$3x^3=1$である。よって$$p=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$$である。

(2)
$C_1$の導関数は$y^{\mathrm{\prime }}=12x^2$である。$A=(a,4a^3-1)$における接線は$$y-(4a^3-1)=12a^2(x-a)$$すなわち$$y=12a^{2}x-8a^3-1$$である。

(3)
$C_2$の$x=b$における接線は$$y=3b^{2}x-2b^3$$である。これが(2)の直線と一致するから$$3b^2=12a^2,-2b^3=-8a^3-1$$である。前式より$b=\pm 2a$である。$b=2a$のとき$8a^3=1$となり，$a=\frac{1}{2}$。$b=-2a$のとき$24a^3=-1$となり$a>0$に反する。よって$$a=\frac{1}{2}$$である。

(4)
(3)のとき，接線は$y=3x-2$，$C_2$との接点は$B=(1,1)$である。また$A=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$である。$$r=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$$とおくと，求める面積は$${\int }_{1\mathrm{/}2}^r\{(4x^3-1)-(3x-2)\}dx+{\int }_r^1\{x^3-(3x-2)\}dx$$である。これを計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {[x^4-\frac{3}{2}{x}^2+x]}_{1\mathrm{/}2}^r+{[\frac{x^4}{4}-\frac{3}{2}{x}^2+2x]}_r^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(\frac{4r}{3}-\frac{3r^2}{2}-\frac{3}{16})+(\frac{3}{4}-\frac{25r}{12}+\frac{3r^2}{2})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{9}{16}-\frac{3r}{4}}\end{array}$$である。したがって面積は$$\frac{9}{16}-\frac{3}{4\sqrt[3]{3}}$$である。

接線を $y=mx+c$ とおき，2本の3次曲線との接触条件を重解条件で表す。面積は接点と交点で区間を分ける。

(1) $4x^3-1=x^3$ より$$p=3^{-1\mathrm{/}3}\mathrm{.}$$(2) $C_1$ の $x=a$ での接線は$$l:y=12a^{2}x-8a^3-1.$$(3) $l$ と $y=x^3$ の交点方程式が重解をもつとする。その重解を $b$ とすれば傾き条件から $3b^2=12a^2$，切片条件から $-2b^3=-8a^3-1$。$a>0$ を満たすのは $b=2a,a=1\mathrm{/}2$ である。
(4) このとき $l:y=3x-2$，接点は $A=(1\mathrm{/}2,-1\mathrm{/}2),B=(1,1)$。したがって$${\int }_{1\mathrm{/}2}^p(4x^3-1-3x+2)dx+{\int }_p^1(x^3-3x+2)dx=\frac{9}{16}-\frac{3}{4\sqrt[3]{3}}\mathrm{.}$$