広島大学 2017年度文系数学第4問解答・解説

問題

座標平面上の二つの曲線 $C_{1} : y = 4 x^{3} - 1, C_{2} : y = x^{3}$ を考える． $a > 0$ に対して， $x$ 座標が $a$ である $C_{1}$ 上の点を $A$ とし， $A$ における $C_{1}$ の接線を $l$ とする．次の問いに答えよ．(1)　 $C_{1}$ と $C_{2}$ の交点の $x$ 座標を $p$ とする． $p$ の値を求めよ．(2)　直線 $l$ の方程式を， $a$ を用いて表せ．(3)　直線 $l$ が $C_{2}$ に接するとき， $a$ の値を求めよ．(4)　(3)のとき，直線 $l$ と $C_{2}$ の接点を $B$ とする． $C_{1}, C_{2}$ と線分 $A B$ で囲まれた図形の面積を求めよ．

出典：広島大学 2017年度前期文系第4問

方針

解法1

交点は二つの曲線の方程式を直接等置する。 $C_{1}$ の接線を求め，それが $C_{2}$ のある点での接線と一致する条件を係数比較で解く。最後は接線， $C_{1}$ ， $C_{2}$ で囲まれる部分を交点 $p$ で二つに分けて積分する。

解法2

接線を $y = m x + c$ とおき，2本の3次曲線との接触条件を重解条件で表す。面積は接点と交点で区間を分ける。

解答

解法1

(1)

交点では $4 x^{3} - 1 = x^{3}$ であるから， $3 x^{3} = 1$ である。よって

p = \frac{1}{3 3}

である。

(2)

$C_{1}$ の導関数は $y^{'} = 12 x^{2}$ である。 $A = (a, 4 a^{3} - 1)$ における接線は

y - (4 a^{3} - 1) = 12 a^{2} (x - a)

すなわち

y = 12 a^{2} x - 8 a^{3} - 1

である。

(3)

$C_{2}$ の $x = b$ における接線は

y = 3 b^{2} x - 2 b^{3}

である。これが(2)の直線と一致するから

3 b^{2} = 12 a^{2}, - 2 b^{3} = - 8 a^{3} - 1

である。前式より $b = \pm 2 a$ である。 $b = 2 a$ のとき $8 a^{3} = 1$ となり， $a = \frac{1}{2}$ 。 $b = - 2 a$ のとき $24 a^{3} = - 1$ となり $a > 0$ に反する。よって

a = \frac{1}{2}

である。

(4)

(3)のとき，接線は $y = 3 x - 2$ ， $C_{2}$ との接点は $B = (1, 1)$ である。また $A = (\frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$ である。 $r = \frac{1}{3 3}$ とおくと，求める面積は

\int_{1/2}^{r} {(4 x^{3} - 1) - (3 x - 2)} d x + \int_{r}^{1} {x^{3} - (3 x - 2)} d x

である。これを計算すると

[x^{4} - \frac{3}{2} x^{2} + x]_{1/2}^{r} + [\frac{x ^{4}}{4} - \frac{3}{2} x^{2} + 2 x]_{r}^{1} = (\frac{4 r}{3} - \frac{3 r ^{2}}{2} - \frac{3}{16}) + (\frac{3}{4} - \frac{25 r}{12} + \frac{3 r ^{2}}{2}) = \frac{9}{16} - \frac{3 r}{4}

である。したがって面積は

\frac{9}{16} - \frac{3}{4 3 3}

である。

解法2

(1)

$4 x^{3} - 1 = x^{3}$ より

p = 3^{- 1/3} .

(2)

$C_{1}$ の $x = a$ での接線は

l : y = 12 a^{2} x - 8 a^{3} - 1.

(3)

$l$ と $y = x^{3}$ の交点方程式が重解をもつとする。その重解を $b$ とすれば傾き条件から $3 b^{2} = 12 a^{2}$ ，切片条件から $- 2 b^{3} = - 8 a^{3} - 1$ 。 $a > 0$ を満たすのは $b = 2 a, a = 1/2$ である。(4) このとき $l : y = 3 x - 2$ ，接点は $A = (1/2, - 1/2), B = (1, 1)$ 。したがって

\int_{1/2}^{p} (4 x^{3} - 1 - 3 x + 2) d x + \int_{p}^{1} (x^{3} - 3 x + 2) d x = \frac{9}{16} - \frac{3}{4 3 3} .

広島大学 2017年度文系数学 第4問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2

(1)

(2)

(3)

広島大学 2017年度
文系数学第4問