広島大学 2018年度文系数学第1問解答・解説

問題

次の問いに答えよ。

(1) $t$ の2次関数

s = (t - \frac{1}{5}) (t - \frac{3}{5})

のグラフを図示せよ。

(2) 次の条件 (A) を満たす座標平面上の点 $(u, v)$ の存在範囲を図示せよ。

(A) t^{2} - u t + v = (t - x) (t - y)

と因数分解できる実数 $x, y$ で

0 ≦ x ≦ 1, 0 ≦ y ≦ 1

を満たすものが存在する。

(3) 次の条件 (B) を満たす座標平面上の点 $(u, v)$ の存在範囲を図示せよ。

(B) t^{2} - u t + v = (t - x) (t - y)

と因数分解できる実数 $x, y$ で

0 ≦ x ≦ 1, 1 ≦ y ≦ 2

を満たすものが存在する。

(4) 点 $(x, y)$ が4点

(0, 0), (1, 0), (1, 2), (0, 2)

を頂点とする長方形の周および内部を動くとき、点

(x + y, x y)

の動く範囲の面積を求めよ。

出典：広島大学 2018年度前期文系第1問

方針

解法1

$(u, v) = (x + y, x y)$ と見て，固定した和 $u$ に対する積 $v$ の範囲を調べる。長方形全体の像は $x \in [0, 1], y \in [0, 2]$ で同じ方法により上下境界を出し，積分で面積を求める。

解法2

条件 (A) と (B) を、長方形の下半分・上半分の像として扱う。写像 $(x, y) \mapsto (u, v) = (x + y, x y)$ の各辺の像と、固定した和で積が最大になる対称点 $x = y$ を調べ、2つの像をつないで全体の面積を求める。

解答

解法1

(1)

s = (t - \frac{1}{5}) (t - \frac{3}{5}) = t^{2} - \frac{4}{5} t + \frac{3}{25}

である。上に開く放物線で， $t$ 軸との交点は $t = \frac{1}{5}, \frac{3}{5}$ ，頂点は

(\frac{2}{5}, - \frac{1}{25})

である。

(2)

条件(A)では $u = x + y$ ， $v = x y$ ， $0 ≦ x ≦ 1$ ， $0 ≦ y ≦ 1$ である。和 $u$ を固定すると， $0 ≦ u ≦ 2$ であり，

0 ≦ u ≦ 1 のとき 0 ≦ v ≦ \frac{u ^{2}}{4},

1 ≦ u ≦ 2 のとき u - 1 ≦ v ≦ \frac{u ^{2}}{4}

である。これが求める存在範囲である。

(3)

条件(B)では $u = x + y$ ， $v = x y$ ， $0 ≦ x ≦ 1$ ， $1 ≦ y ≦ 2$ である。和 $u$ を固定すると， $1 ≦ u ≦ 3$ であり，

1 ≦ u ≦ 2 のとき 0 ≦ v ≦ u - 1,

2 ≦ u ≦ 3 のとき 2 u - 4 ≦ v ≦ u - 1

である。これが求める存在範囲である。

(4)

長方形全体では $0 ≦ x ≦ 1$ ， $0 ≦ y ≦ 2$ であり， $(u, v) = (x + y, x y)$ とおく。固定した $u$ に対する範囲は

0 ≦ u ≦ 2 のとき 0 ≦ v ≦ \frac{u ^{2}}{4},

2 ≦ u ≦ 3 のとき 2 u - 4 ≦ v ≦ u - 1

である。したがって求める面積は

\int_{0}^{2} \frac{u ^{2}}{4} d u + \int_{2}^{3} {(u - 1) - (2 u - 4)} d u = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{7}{6}

である。

解法2

(1)

平方完成すると

s = (t - \frac{2}{5})^{2} - \frac{1}{25} .

したがって、軸は $t = 2/5$ 、頂点は

(\frac{2}{5}, - \frac{1}{25})

であり、 $t$ 軸との交点は

(\frac{1}{5}, 0), (\frac{3}{5}, 0)

である。これらを通る上に開く放物線を描けばよい。

(2)

係数比較から

u = x + y, v = x y .

条件 (A) の正方形の辺を移すと、 $uv$ 平面では

x = 0 または y = 0 ⟹ v = 0,

x = 1 または y = 1 ⟹ v = u - 1.

また、和 $u$ を固定したとき

v = x (u - x) = - (x - \frac{u}{2})^{2} + \frac{u ^{2}}{4}

だから、最大値は $u^{2} /4$ である。よって存在範囲は

⎩ ⎨ ⎧ 0 ≦ v ≦ \frac{u ^{2}}{4} u - 1 ≦ v ≦ \frac{u ^{2}}{4} (0 ≦ u ≦ 1), (1 ≦ u ≦ 2) .

(3)

条件 (B) の長方形の4辺の像は

辺 x = 0 y = 1 x = 1 y = 2 uv 平面での像 v = 0 (1 ≦ u ≦ 2) v = u - 1 (1 ≦ u ≦ 2) v = u - 1 (2 ≦ u ≦ 3) v = 2 u - 4 (2 ≦ u ≦ 3)

である。固定した $u$ に対して $x (u - x)$ はこの許容区間で単調に増えるので、存在範囲は

{0 ≦ v ≦ u - 1 2 u - 4 ≦ v ≦ u - 1 (1 ≦ u ≦ 2), (2 ≦ u ≦ 3) .

(4)

元の長方形は条件 (A) と条件 (B) の長方形を合わせたものである。したがって、その像は

⎩ ⎨ ⎧ 0 ≦ v ≦ \frac{u ^{2}}{4} 2 u - 4 ≦ v ≦ u - 1 (0 ≦ u ≦ 2), (2 ≦ u ≦ 3) .

よって面積は

\int_{0}^{2} \frac{u ^{2}}{4} d u + \int_{2}^{3} {(u - 1) - (2 u - 4)} d u = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{7}{6} .

広島大学 2018年度文系数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2018年度
文系数学第1問