広大 2018年度文系数学第1問｜問題・解答・解説

方針

$(u, v) = (x + y, x y)$ と見て，固定した和 $u$ に対する積 $v$ の範囲を調べる。長方形全体の像は $x \in [0, 1], y \in [0, 2]$ で同じ方法により上下境界を出し，積分で面積を求める。

解答

(1) $s = (t - \frac{1}{5}) (t - \frac{3}{5}) = t^{2} - \frac{4}{5} t + \frac{3}{25}$ である。上に開く放物線で， $t$ 軸との交点は $t = \frac{1}{5}, \frac{3}{5}$ ，頂点は $(\frac{2}{5}, - \frac{1}{25})$ である。

(2)
条件(A)では $u = x + y$ ， $v = x y$ ， $0 ≦ x ≦ 1$ ， $0 ≦ y ≦ 1$ である。和 $u$ を固定すると， $0 ≦ u ≦ 2$ であり， $0 ≦ u ≦ 1 のとき 0 ≦ v ≦ \frac{u^{2}}{4},$ $1 ≦ u ≦ 2 のとき u - 1 ≦ v ≦ \frac{u^{2}}{4}$ である。これが求める存在範囲である。

(3)
条件(B)では $u = x + y$ ， $v = x y$ ， $0 ≦ x ≦ 1$ ， $1 ≦ y ≦ 2$ である。和 $u$ を固定すると， $1 ≦ u ≦ 3$ であり， $1 ≦ u ≦ 2 のとき 0 ≦ v ≦ u - 1,$ $2 ≦ u ≦ 3 のとき 2 u - 4 ≦ v ≦ u - 1$ である。これが求める存在範囲である。

(4)
長方形全体では $0 ≦ x ≦ 1$ ， $0 ≦ y ≦ 2$ であり， $(u, v) = (x + y, x y)$ とおく。固定した $u$ に対する範囲は $0 ≦ u ≦ 2 のとき 0 ≦ v ≦ \frac{u^{2}}{4},$ $2 ≦ u ≦ 3 のとき 2 u - 4 ≦ v ≦ u - 1$ である。したがって求める面積は $\int_{0}^{2} \frac{u^{2}}{4} d u + \int_{2}^{3} {(u - 1) - (2 u - 4)} d u = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{7}{6}$ である。

別解

解法2

方針

条件 (A) と (B) を、長方形の下半分・上半分の像として扱う。写像 $(x, y) \mapsto (u, v) = (x + y, x y)$ の各辺の像と、固定した和で積が最大になる対称点 $x = y$ を調べ、2つの像をつないで全体の面積を求める。

解答

(1)

平方完成すると $s = {(t - \frac{2}{5})}^{2} - \frac{1}{25} .$ したがって、軸は $t = 2 / 5$ 、頂点は $(\frac{2}{5}, - \frac{1}{25})$ であり、 $t$ 軸との交点は $(\frac{1}{5}, 0), (\frac{3}{5}, 0)$ である。これらを通る上に開く放物線を描けばよい。

(2)

係数比較から $u = x + y, v = x y .$ 条件 (A) の正方形の辺を移すと、 $u v$ 平面では $x = 0 または y = 0 ⟹ v = 0,$ $x = 1 または y = 1 ⟹ v = u - 1.$ また、和 $u$ を固定したとき $v = x (u - x) = - {(x - \frac{u}{2})}^{2} + \frac{u^{2}}{4}$ だから、最大値は $u^{2} / 4$ である。よって存在範囲は ${\begin{cases} 0 ≦ v ≦ \frac{u^{2}}{4} & (0 ≦ u ≦ 1), \\ u - 1 ≦ v ≦ \frac{u^{2}}{4} & (1 ≦ u ≦ 2) . \end{cases}$ (3)

条件 (B) の長方形の4辺の像は $\begin{array}{cc} 辺 & u v 平面での像 \\ x = 0 & v = 0 (1 ≦ u ≦ 2) \\ y = 1 & v = u - 1 (1 ≦ u ≦ 2) \\ x = 1 & v = u - 1 (2 ≦ u ≦ 3) \\ y = 2 & v = 2 u - 4 (2 ≦ u ≦ 3) \end{array}$ である。固定した $u$ に対して $x (u - x)$ はこの許容区間で単調に増えるので、存在範囲は ${\begin{cases} 0 ≦ v ≦ u - 1 & (1 ≦ u ≦ 2), \\ 2 u - 4 ≦ v ≦ u - 1 & (2 ≦ u ≦ 3) . \end{cases}$ (4)

元の長方形は条件 (A) と条件 (B) の長方形を合わせたものである。したがって、その像は ${\begin{cases} 0 ≦ v ≦ \frac{u^{2}}{4} & (0 ≦ u ≦ 2), \\ 2 u - 4 ≦ v ≦ u - 1 & (2 ≦ u ≦ 3) . \end{cases}$ よって面積は $\begin{aligned} \int_{0}^{2} \frac{u^{2}}{4} d u + \int_{2}^{3} {(u - 1) - (2 u - 4)} d u & = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \\ = \frac{7}{6} . \end{aligned}$

総評

難度6，計算量6。想定時間は20分程度。二次式の係数を根の和と積として読み替え，固定した和で積の最大・最小を調べる問題である。図示では境界曲線と折れ線を明確にし，面積計算では区間分割を誤らないことが重要である。別解では2つの長方形の各辺がどの境界へ移るかを対応づけ、全体の像と積分区間を図で確認できるようにした。

出典: 広島大学 2018年度前期文系数学第1問（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

広島大学 2018年度 前期文系数学 第1問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

広島大学 2018年度前期文系数学第1問