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広島大学 2018年度 前期文系数学 第1問

次の問いに答えよ。

(1) t の2次関数s=(t−15)(t−35)のグラフを図示せよ。

(2) 次の条件 (A) を満たす座標平面上の点 (u,v) の存在範囲を図示せよ。(A)t2−ut+v=(t−x)(t−y)と因数分解できる実数 x,y で0≦x≦1,0≦y≦1を満たすものが存在する。

(3) 次の条件 (B) を満たす座標平面上の点 (u,v) の存在範囲を図示せよ。(B)t2−ut+v=(t−x)(t−y)と因数分解できる実数 x,y で0≦x≦1,1≦y≦2を満たすものが存在する。

(4) 点 (x,y) が4点(0,0),(1,0),(1,2),(0,2)を頂点とする長方形の周および内部を動くとき、点(x+y,xy)の動く範囲の面積を求めよ。

難易度6/ 10計算量6/ 10目安20分

図形と方程式、関数　座標設定、範囲評価、グラフの概形、面積計算

方針

(u,v)=(x+y,xy) と見て，固定した和 u に対する積 v の範囲を調べる。長方形全体の像は x∈[0,1],y∈[0,2] で同じ方法により上下境界を出し，積分で面積を求める。

解答

(1) s=(t−15)(t−35)=t2−45t+325である。上に開く放物線で，t 軸との交点は t=15,35，頂点は(25,−125)である。

(2)
条件(A)では u=x+y，v=xy，0≦x≦1，0≦y≦1 である。和 u を固定すると，0≦u≦2 であり，0≦u≦1 のとき 0≦v≦u24,1≦u≦2 のとき u−1≦v≦u24である。これが求める存在範囲である。

(3)
条件(B)では u=x+y，v=xy，0≦x≦1，1≦y≦2 である。和 u を固定すると，1≦u≦3 であり，1≦u≦2 のとき 0≦v≦u−1,2≦u≦3 のとき 2u−4≦v≦u−1である。これが求める存在範囲である。

(4)
長方形全体では 0≦x≦1，0≦y≦2 であり，(u,v)=(x+y,xy) とおく。固定した u に対する範囲は0≦u≦2 のとき 0≦v≦u24,2≦u≦3 のとき 2u−4≦v≦u−1である。したがって求める面積は∫02u24 du+∫23{(u−1)−(2u−4)} du=23+12=76である。

別解

解法2

方針

条件 (A) と (B) を、長方形の下半分・上半分の像として扱う。写像 (x,y)↦(u,v)=(x+y,xy) の各辺の像と、固定した和で積が最大になる対称点 x=y を調べ、2つの像をつないで全体の面積を求める。

解答

(1)

平方完成するとs=(t−25)2−125.したがって、軸は t=2/5、頂点は(25,−125)であり、t 軸との交点は(15,0),(35,0)である。これらを通る上に開く放物線を描けばよい。

(2)

係数比較からu=x+y,v=xy.条件 (A) の正方形の辺を移すと、uv 平面ではx=0 または y=0⟹v=0,x=1 または y=1⟹v=u−1.また、和 u を固定したときv=x(u−x)=−(x−u2)2+u24だから、最大値は u2/4 である。よって存在範囲は{0≦v≦u24(0≦u≦1),u−1≦v≦u24(1≦u≦2).(3)

条件 (B) の長方形の4辺の像は辺uv 平面での像x=0v=0(1≦u≦2)y=1v=u−1(1≦u≦2)x=1v=u−1(2≦u≦3)y=2v=2u−4(2≦u≦3)である。固定した u に対して x(u−x) はこの許容区間で単調に増えるので、存在範囲は{0≦v≦u−1(1≦u≦2),2u−4≦v≦u−1(2≦u≦3).(4)

元の長方形は条件 (A) と条件 (B) の長方形を合わせたものである。したがって、その像は{0≦v≦u24(0≦u≦2),2u−4≦v≦u−1(2≦u≦3).よって面積は∫02u24 du+∫23{(u−1)−(2u−4)} du=23+12=76.

総評

難度6，計算量6。想定時間は20分程度。二次式の係数を根の和と積として読み替え，固定した和で積の最大・最小を調べる問題である。図示では境界曲線と折れ線を明確にし，面積計算では区間分割を誤らないことが重要である。 別解では2つの長方形の各辺がどの境界へ移るかを対応づけ、全体の像と積分区間を図で確認できるようにした。

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出典: 広島大学 2018年度 前期 文系数学 第1問（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。