広島大学 2018年度文系数学第3問解答・解説

問題

$O$ を原点とする座標平面上の曲線

C : y = - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x + \frac{13}{6}

を考える。 $C$ 上の点 $D (- 1, 2)$ における $C$ の接線を $l$ とし、 $D$ と異なる $C$ と $l$ の共有点を $E$ とする。次の問いに答えよ。

(1) $l$ の方程式を求めよ。

(2) $E$ の座標を求めよ。

(3) 原点 $O$ を中心とする半径 $1$ の円周上に点 $A (a, b)$ をとる。ただし $a, b > 0$ とする。直線 $l$ 上の動点 $P$ に対し、

O A \cdot O P

が $P$ の位置によらず一定であるとき、 $A$ の座標を求めよ。

(4) $A$ を (3) で求めた点とする。点 $Q$ が $C$ 上を $D$ から $E$ まで動くとき、

O A \cdot O Q

の最大値を求めよ。

出典：広島大学 2018年度前期文系第3問

方針

解法1

接線は微分係数から求め，共有点は三次方程式の重解を利用する。内積が直線上で一定になる条件は，直線のパラメータの係数が $0$ になること。最後は $Q = (x, y)$ として内積を $x$ の関数に直し，微分で最大値を求める。

解法2

(3)を係数比較ではなく、内積の幾何的意味から処理する。内積が直線上で一定であることは $O A$ が直線 $l$ の方向ベクトルに垂直であることと同値なので、正の成分をもつ単位法線ベクトルとして $A$ を決める。

解答

解法1

(1)

$C$ を $y = f (x)$ とおくと

f^{'} (x) = - x^{2} + \frac{1}{2}

である。したがって $D (- 1, 2)$ における接線の傾きは $- \frac{1}{2}$ であり，

l : y - 2 = - \frac{1}{2} (x + 1)

すなわち

y = - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}

である。

(2)

$C$ と $l$ の共有点は

- \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x + \frac{13}{6} = - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}

を満たす。整理すると

x^{3} - 3 x - 2 = 0, (x + 1)^{2} (x - 2) = 0

である。 $D$ と異なる共有点は $x = 2$ の点であるから

E (2, \frac{1}{2})

である。

(3)

$P = (x, y)$ が直線 $l$ 上にあるとき， $y = - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$ である。 $A = (a, b)$ とすると

O A \cdot O P = a x + b y = (a - \frac{b}{2}) x + \frac{3 b}{2}

である。これが $P$ の位置によらず一定であるためには $a - \frac{b}{2} = 0$ ，すなわち $b = 2 a$ が必要十分である。さらに $a^{2} + b^{2} = 1$ ， $a, b > 0$ より

A (\frac{1}{5}, \frac{2}{5})

である。

(4)

$Q = (x, f (x))$ とおくと， $- 1 ≦ x ≦ 2$ である。(3)の $A$ に対して

O A \cdot O Q = \frac{x + 2 f ( x )}{5} = \frac{- \frac{2}{3} x ^{3} + 2 x + \frac{13}{3}}{5}

である。分子を $h (x)$ とすると

h^{'} (x) = 2 (1 - x^{2})

であるから， $[- 1, 2]$ において $h (x)$ は $- 1 ≦ x ≦ 1$ で増加し， $1 ≦ x ≦ 2$ で減少する。よって最大は $x = 1$ で，

max O A \cdot O Q = \frac{17}{3 5} = \frac{17 5}{15}

である。

解法2

(1)

曲線を $y = f (x)$ とおくと

f^{'} (x) = - x^{2} + \frac{1}{2} .

したがって $x = - 1$ における傾きは $- 1/2$ であり

l : y - 2 = - \frac{1}{2} (x + 1) .

よって

l : y = - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2} .

(2)

共有点の $x$ 座標は

- \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x + \frac{13}{6} = - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}

を満たす。整理すると

x^{3} - 3 x - 2 = (x + 1)^{2} (x - 2) = 0.

$x = - 1$ は接点 $D$ なので、もう一つの共有点は $x = 2$ である。接線へ代入して

E (2, \frac{1}{2}) .

(3)

直線 $l$ の方向ベクトルとして

d = (2, - 1)

をとる。点 $P$ が直線上を動くとき

O P = O P_{0} + t d

と書けるので

O A \cdot O P = O A \cdot O P_{0} + t O A \cdot d .

これが $t$ によらず一定であるための必要十分条件は

O A \cdot d = 0.

したがって $O A$ は $(2, - 1)$ に垂直で、両成分が正の単位ベクトルだから

O A = \frac{( 1 , 2 )}{5} .

よって

A (\frac{1}{5}, \frac{2}{5}) .

(4)

$Q = (x, f (x))$ とおくと、 $D$ から $E$ まででは

- 1 ≦ x ≦ 2.

内積は

O A \cdot O Q = \frac{x + 2 f ( x )}{5} = \frac{- \frac{2}{3} x ^{3} + 2 x + \frac{13}{3}}{5} .

分子を $h (x)$ とおくと

h^{'} (x) = 2 (1 - x^{2}) .

したがって区間内では $x = 1$ で最大になり

h (1) = \frac{17}{3} .

よって最大値は

\frac{17}{3 5} = \frac{17 5}{15} .

広島大学 2018年度文系数学 第3問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2018年度
文系数学第3問