広島大学 2018年度 前期文系数学 第3問

(1)
$C$ を $y=f(x)$ とおくと$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-x^2+\frac{1}{2}$$である。したがって $D(-1,2)$ における接線の傾きは $-\frac{1}{2}$ であり，$$l:y-2=-\frac{1}{2}(x+1)$$すなわち$$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$$である。

(2)
$C$ と $l$ の共有点は$$-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}x+\frac{13}{6}=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$$を満たす。整理すると$$x^3-3x-2=0,(x+1{)}^2(x-2)=0$$である。$D$ と異なる共有点は $x=2$ の点であるから$$E(2,\frac{1}{2})$$である。

(3)
$P=(x,y)$ が直線 $l$ 上にあるとき，$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ である。$A=(a,b)$ とすると$$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OP}=ax+by=(a-\frac{b}{2})x+\frac{3b}{2}$$である。これが $P$ の位置によらず一定であるためには $$a-\frac{b}{2}=0$$，すなわち $b=2a$ が必要十分である。さらに $a^2+b^2=1$，$a,b>0$ より$$A(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}})$$である。

(4)
$Q=(x,f(x))$ とおくと，$-1\leqq x\leqq 2$ である。(3)の $A$ に対して$$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OQ}=\frac{x+2f(x)}{\sqrt{5}}=\frac{-\frac{2}{3}{x}^3+2x+\frac{13}{3}}{\sqrt{5}}$$である。分子を $h(x)$ とすると$$h^{\mathrm{\prime }}(x)=2(1-x^2)$$であるから，$[-1,2]$ において $h(x)$ は $-1\leqq x\leqq 1$ で増加し，$1\leqq x\leqq 2$ で減少する。よって最大は $x=1$ で，$$\max \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OQ}=\frac{17}{3\sqrt{5}}=\frac{17\sqrt{5}}{15}$$である。

(3) を係数比較ではなく、内積の幾何的意味から処理する。内積が直線上で一定であることは $\overrightarrow{OA}$ が直線 $l$ の方向ベクトルに垂直であることと同値なので、正の成分をもつ単位法線ベクトルとして $A$ を決める。

(1)

曲線を $y=f(x)$ とおくと$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-x^2+\frac{1}{2}\mathrm{.}$$したがって $x=-1$ における傾きは $-1\mathrm{/}2$ であり$$l:y-2=-\frac{1}{2}(x+1)\mathrm{.}$$よって$$l:y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\mathrm{.}$$(2)

共有点の $x$ 座標は$$-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}x+\frac{13}{6}=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$$を満たす。整理すると$$x^3-3x-2=(x+1{)}^2(x-2)=0.$$$x=-1$ は接点 $D$ なので、もう一つの共有点は $x=2$ である。接線へ代入して$$E(2,\frac{1}{2})\mathrm{.}$$(3)

直線 $l$ の方向ベクトルとして$$\mathit{d}=(2,-1)$$をとる。点 $P$ が直線上を動くとき$$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{O{P}_0}+t\mathit{d}$$と書けるので$$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{O{P}_0}+t\overrightarrow{OA}\cdot \mathit{d}\mathrm{.}$$これが $t$ によらず一定であるための必要十分条件は$$\overrightarrow{OA}\cdot \mathit{d}=0.$$したがって $\overrightarrow{OA}$ は $(2,-1)$ に垂直で、両成分が正の単位ベクトルだから$$\overrightarrow{OA}=\frac{(1,2)}{\sqrt{5}}\mathrm{.}$$よって$$A(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}})\mathrm{.}$$(4)

$Q=(x,f(x))$ とおくと、$D$ から $E$ まででは$$-1\leqq x\leqq 2.$$内積は$$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OQ}=\frac{x+2f(x)}{\sqrt{5}}=\frac{-\frac{2}{3}{x}^3+2x+\frac{13}{3}}{\sqrt{5}}\mathrm{.}$$分子を $h(x)$ とおくと$$h^{\mathrm{\prime }}(x)=2(1-x^2)\mathrm{.}$$したがって区間内では $x=1$ で最大になり$$h(1)=\frac{17}{3}\mathrm{.}$$よって最大値は$$\frac{17}{3\sqrt{5}}=\frac{17\sqrt{5}}{15}\mathrm{.}$$