広島大学 2018年度文系数学第2問解答・解説

問題

次の問いに答えよ。

(1) 実数 $θ$ が

0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}

を満たすとき、不等式

\frac{1 - cos θ}{2} < 1

が成り立つことを示せ。

(2) 上と同じ範囲の実数 $θ$ に対し、

cos α = \frac{1 - cos θ}{2}, 0 ≦ α ≦ \frac{π}{2}

により定まる実数 $α$ は、 $θ$ についての整式 $f (θ)$ を用いて

α = f (θ)

と表すことができる。このような $f (θ)$ を一つ求めよ。

(3) (2) で求めた $f (θ)$ を用いて、数列 ${θ_{n}}$ を

θ_{1} = \frac{π}{2}, θ_{n + 1} = f (θ_{n}) (n = 1, 2, 3, \dots)

により定める。数列 ${θ_{n}}$ の一般項を求めよ。

(4) (3) の数列に対し、

∣ θ_{n + 1} - θ_{n} ∣ ≦ \frac{π}{1000}

となる最小の自然数 $n$ を求めよ。

出典：広島大学 2018年度前期文系第2問

方針

解法1

半角公式により $(1 - cos θ) /2 = sin (θ /2)$ と読む。 $cos α = sin (θ /2) = cos (π /2 - θ /2)$ から一次式の漸化式を得て，固定値からの差で一般項を求める。

解法2

半角公式から $f (θ)$ を決めた後、一次漸化式を繰り返し代入して有限等比級数として解く。固定点を先に求めない形でも一般項が得られるため、主解の検算になる。

解答

解法1

(1)

$0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ では $0 ≦ cos θ ≦ 1$ である。したがって

0 ≦ \frac{1 - cos θ}{2} ≦ \frac{1}{2}

より

\frac{1 - cos θ}{2} ≦ \frac{1}{2} < 1

である。

(2)

$0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ より $0 ≦ \frac{θ}{2} ≦ \frac{π}{4}$ である。半角公式から

\frac{1 - cos θ}{2} = sin \frac{θ}{2} = cos (\frac{π}{2} - \frac{θ}{2})

である。 $\frac{π}{2} - \frac{θ}{2}$ は $[0, \frac{π}{2}]$ に入るから

α = \frac{π}{2} - \frac{θ}{2}

でよい。したがって

f (θ) = \frac{π}{2} - \frac{θ}{2}

である。

(3)

θ_{n + 1} = \frac{π}{2} - \frac{θ _{n}}{2}

であり， $\frac{π}{3}$ を引くと

θ_{n + 1} - \frac{π}{3} = - \frac{1}{2} (θ_{n} - \frac{π}{3})

である。 $θ_{1} - \frac{π}{3} = \frac{π}{6}$ より

θ_{n} = \frac{π}{3} + \frac{π}{6} (- \frac{1}{2})^{n - 1}

である。

(4)

(3)より

∣ θ_{n + 1} - θ_{n} ∣ = \frac{π}{4} (\frac{1}{2})^{n - 1} = \frac{π}{2 ^{n + 1}}

である。これが $\frac{π}{1000}$ 以下となる条件は

2^{n + 1} ≧ 1000

である。 $2^{9} = 512$ ， $2^{10} = 1024$ より，最小の自然数は

n = 9

である。

解法2

(1)

半角公式と $θ$ の範囲から

\frac{1 - cos θ}{2} = sin \frac{θ}{2}

である。さらに

0 ≦ \frac{θ}{2} ≦ \frac{π}{4}

だから

0 ≦ sin \frac{θ}{2} ≦ sin \frac{π}{4} = \frac{1}{2} < 1.

(2)

sin \frac{θ}{2} = cos (\frac{π}{2} - \frac{θ}{2}) .

また

\frac{π}{4} ≦ \frac{π}{2} - \frac{θ}{2} ≦ \frac{π}{2},

したがって指定された $α$ の範囲で余弦の値から角は一意に決まる。よって

α = \frac{π}{2} - \frac{θ}{2}, f (θ) = \frac{π}{2} - \frac{θ}{2} .

(3)

漸化式を繰り返し代入すると、 $n ≧ 2$ について

θ_{n} = \frac{π}{2} k = 0 \sum n - 2 (- \frac{1}{2})^{k} + (- \frac{1}{2})^{n - 1} θ_{1} .

有限等比級数の和と $θ_{1} = π /2$ を使えば

θ_{n} = \frac{π}{2} \frac{1 - ( - 1/2 ) ^{n - 1}}{1 + 1/2} + \frac{π}{2} (- \frac{1}{2})^{n - 1} = \frac{π}{3} + \frac{π}{6} (- \frac{1}{2})^{n - 1} .

この式は $n = 1$ でも成り立つ。

(4)

一般項から

∣ θ_{n + 1} - θ_{n} ∣ = \frac{π}{6} (- \frac{1}{2})^{n} - (- \frac{1}{2})^{n - 1} = \frac{π}{2 ^{n + 1}} .

したがって

\frac{π}{2 ^{n + 1}} ≦ \frac{π}{1000} ⟺ 2^{n + 1} ≧ 1000.

2^{9} = 512 < 1000 < 1024 = 2^{10}

より、最小の自然数は

n = 9

である。

広島大学 2018年度文系数学 第2問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2018年度
文系数学第2問