広島大学 2018年度 前期文系数学 第2問

(1) $$0\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2}$$ では $0\leqq \cos \theta \leqq 1$ である。したがって$$0\leqq \frac{1-\cos \theta }{2}\leqq \frac{1}{2}$$より$$\sqrt{\frac{1-\cos \theta }{2}}\leqq \frac{1}{\sqrt{2}}<1$$である。

(2) $$0\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2}$$ より $$0\leqq \frac{\theta }{2}\leqq \frac{\pi }{4}$$ である。半角公式から$$\sqrt{\frac{1-\cos \theta }{2}}=\sin \frac{\theta }{2}=\cos (\frac{\pi }{2}-\frac{\theta }{2})$$である。$\frac{\pi }{2}-\frac{\theta }{2}$ は $[0,\frac{\pi }{2}]$ に入るから$$\alpha =\frac{\pi }{2}-\frac{\theta }{2}$$でよい。したがって$$f(\theta )=\frac{\pi }{2}-\frac{\theta }{2}$$である。

(3) $${\theta }_{n+1}=\frac{\pi }{2}-\frac{{\theta }_n}{2}$$であり，$\frac{\pi }{3}$ を引くと$${\theta }_{n+1}-\frac{\pi }{3}=-\frac{1}{2}({\theta }_n-\frac{\pi }{3})$$である。$${\theta }_1-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}$$ より$${\theta }_n=\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{6}{(-\frac{1}{2})}^{n-1}$$である。

(4)
(3)より$$\mathrm{\mid }{\theta }_{n+1}-{\theta }_n\mathrm{\mid }=\frac{\pi }{4}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=\frac{\pi }{2^{n+1}}$$である。これが $\frac{\pi }{1000}$ 以下となる条件は$$2^{n+1}\geqq 1000$$である。$2^9=512$，$2^{10}=1024$ より，最小の自然数は$$n=9$$である。

半角公式から $f(\theta )$ を決めた後、一次漸化式を繰り返し代入して有限等比級数として解く。固定点を先に求めない形でも一般項が得られるため、主解の検算になる。

(1)

半角公式と $\theta$ の範囲から$$\sqrt{\frac{1-\cos \theta }{2}}=\sin \frac{\theta }{2}$$である。さらに$$0\leqq \frac{\theta }{2}\leqq \frac{\pi }{4}$$だから$$0\leqq \sin \frac{\theta }{2}\leqq \sin \frac{\pi }{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}<1.$$(2)$$\sin \frac{\theta }{2}=\cos (\frac{\pi }{2}-\frac{\theta }{2})\mathrm{.}$$また$$\frac{\pi }{4}\leqq \frac{\pi }{2}-\frac{\theta }{2}\leqq \frac{\pi }{2},$$したがって指定された $\alpha$ の範囲で余弦の値から角は一意に決まる。よって$$\alpha =\frac{\pi }{2}-\frac{\theta }{2},f(\theta )=\frac{\pi }{2}-\frac{\theta }{2}\mathrm{.}$$(3)

漸化式を繰り返し代入すると、$n\geqq 2$ について$${\theta }_n=\frac{\pi }{2}\sum _{k=0}^{n-2}{(-\frac{1}{2})}^k+{(-\frac{1}{2})}^{n-1}{\theta }_1\mathrm{.}$$有限等比級数の和と ${\theta }_1=\pi \mathrm{/}2$ を使えば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\theta }_n}& {\displaystyle =\frac{\pi }{2}\frac{1-(-1\mathrm{/}2{)}^{n-1}}{1+1\mathrm{/}2}+\frac{\pi }{2}{(-\frac{1}{2})}^{n-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{6}{(-\frac{1}{2})}^{n-1}\mathrm{.}}\end{array}$$この式は $n=1$ でも成り立つ。

(4)

一般項から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }{\theta }_{n+1}-{\theta }_n\mathrm{\mid }}& {\displaystyle =\frac{\pi }{6}\mid {(-\frac{1}{2})}^n-{(-\frac{1}{2})}^{n-1}\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\pi }{2^{n+1}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$\frac{\pi }{2^{n+1}}\leqq \frac{\pi }{1000}⟺2^{n+1}\geqq 1000.$$$$2^9=512<1000<1024=2^{10}$$より、最小の自然数は$$n=9$$である。