広島大学 2018年度 前期文系数学 第4問

(1)
境界線は $y=0$，$x+y=4$，$2x+3y=12$ である。交点を求めると$$(4,0),(6,0),(0,4)$$である。したがって $D$ はこの3点を頂点とする三角形の周および内部である。

(2)
$y$ を整数として調べると，$D$ に含まれる格子点は$$(4,0),(5,0),(6,0),(3,1),(4,1),(2,2),(3,2),(1,3),(0,4)$$である。

(3)
$1\leqq X,Y\leqq 6$ であるから，(2)のうち該当する点は$$(3,1),(4,1),(2,2),(3,2),(1,3)$$の5点である。全事象は36通りなので，求める確率は$$\frac{5}{36}$$である。

(4)
$Z\leqq W$ であり，$(Z,W)$ が $D$ に含まれる組は$$(1,3),(2,2)$$だけである。$(Z,W)=(1,3)$ となるのは，すべての目が $1,2,3$ のいずれかで，少なくとも1回は $1$，少なくとも1回は $3$ が出るときである。その回数は$$3^n-2\cdot 2^n+1$$通りである。また $(Z,W)=(2,2)$ となるのはすべて $2$ が出る1通りである。よって$$P_n=\frac{3^n-2^{n+1}+2}{6^n}$$である。

領域と格子点を図で確定した後、(4)では「すべての目が区間 $[r,s]$ に入る」事象を使う。最小値と最大値を同時に指定する確率を、区間の両端を欠く場合の包除原理で数える。

(1)

3本の境界線の交点は$$y=0,x+y=4⟹(4,0),$$$$y=0,2x+3y=12⟹(6,0),$$$$x+y=4,2x+3y=12⟹(0,4)\mathrm{.}$$不等号の向きを確認すると、$D$ はこの3点を頂点とする三角形の周および内部である。

(2)

各整数 $y=0,1,2,3,4$ について$$4-y\leqq x\leqq \frac{12-3y}{2}$$を満たす整数 $x$ を並べる。得られる格子点は$$\begin{array}{c}{\displaystyle (4,0),(5,0),(6,0),}\\ {\displaystyle (3,1),(4,1),}\\ {\displaystyle (2,2),(3,2),}\\ {\displaystyle (1,3),(0,4)}\end{array}$$である。

(3)

座標がともに $1$ 以上 $6$ 以下である格子点は$$(3,1),(4,1),(2,2),(3,2),(1,3)$$の5点である。36通りの出方は等確率なので$$\frac{5}{36}\mathrm{.}$$(4)

$Z\leqq W$ と (2) の格子点を合わせると、可能な組は$$(Z,W)=(1,3),(2,2)$$だけである。

$(Z,W)=(1,3)$ となるには、すべての目が $\{1,2,3\}$ に入り、かつ $1$ と $3$ が少なくとも一度ずつ出ればよい。包除原理により、その列の本数は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \mathrm{\#}\{\text{すべて }1,2,3\}-\mathrm{\#}\{1\text{ が出ない}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -\mathrm{\#}\{3\text{ が出ない}\}+\mathrm{\#}\{1,3\text{ がともに出ない}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3^n-2^n-2^n+1.}\end{array}$$また $(Z,W)=(2,2)$ は、すべて $2$ である1列だけである。したがって$$P_n=\frac{3^n-2^{n+1}+1+1}{6^n}=\frac{3^n-2^{n+1}+2}{6^n}\mathrm{.}$$