広島大学 2018年度文系数学第4問解答・解説

問題

座標平面上で、三つの不等式

y ≧ 0, x + y ≧ 4, 2 x + 3 y ≦ 12

によって表される領域を $D$ とする。次の問いに答えよ。

(1) $D$ を図示せよ。

(2) $x$ 座標と $y$ 座標がともに整数である点を格子点という。 $D$ に含まれる格子点をすべて求めよ。

(3) 1個のさいころを2回投げ、1回目の目を $X$ 、2回目の目を $Y$ とする。点 $(X, Y)$ が $D$ に含まれる確率を求めよ。

(4) 1個のさいころを $n$ 回投げ、出た目の最小値を $Z$ 、最大値を $W$ とする。点 $(Z, W)$ が $D$ に含まれる確率 $P_{n}$ を求めよ。ただし $n ≧ 2$ とする。

出典：広島大学 2018年度前期文系第4問

方針

解法1

領域 $D$ は三直線の交点から三角形として把握する。格子点は $y$ の値ごとに列挙する。さいころ2回は該当する格子点を数え， $n$ 回の場合は $(Z, W)$ の可能な組を列挙して，最小値・最大値が指定される確率を数える。

解法2

領域と格子点を図で確定した後、(4)では「すべての目が区間 $[r, s]$ に入る」事象を使う。最小値と最大値を同時に指定する確率を、区間の両端を欠く場合の包除原理で数える。

解答

解法1

(1)

境界線は $y = 0$ ， $x + y = 4$ ， $2 x + 3 y = 12$ である。交点を求めると

(4, 0), (6, 0), (0, 4)

である。したがって $D$ はこの3点を頂点とする三角形の周および内部である。

(2)

$y$ を整数として調べると， $D$ に含まれる格子点は

(4, 0), (5, 0), (6, 0), (3, 1), (4, 1), (2, 2), (3, 2), (1, 3), (0, 4)

である。

(3)

$1 ≦ X, Y ≦ 6$ であるから，(2)のうち該当する点は

(3, 1), (4, 1), (2, 2), (3, 2), (1, 3)

の5点である。全事象は36通りなので，求める確率は

\frac{5}{36}

である。

(4)

$Z ≦ W$ であり， $(Z, W)$ が $D$ に含まれる組は

(1, 3), (2, 2)

だけである。 $(Z, W) = (1, 3)$ となるのは，すべての目が $1, 2, 3$ のいずれかで，少なくとも1回は $1$ ，少なくとも1回は $3$ が出るときである。その回数は

3^{n} - 2 \cdot 2^{n} + 1

通りである。また $(Z, W) = (2, 2)$ となるのはすべて $2$ が出る1通りである。よって

P_{n} = \frac{3 ^{n} - 2 ^{n + 1} + 2}{6 ^{n}}

である。

解法2

(1)

3本の境界線の交点は

y = 0, x + y = 4 ⟹ (4, 0),

y = 0, 2 x + 3 y = 12 ⟹ (6, 0),

x + y = 4, 2 x + 3 y = 12 ⟹ (0, 4) .

不等号の向きを確認すると、 $D$ はこの3点を頂点とする三角形の周および内部である。

(2)

各整数 $y = 0, 1, 2, 3, 4$ について

4 - y ≦ x ≦ \frac{12 - 3 y}{2}

を満たす整数 $x$ を並べる。得られる格子点は

(4, 0), (5, 0), (6, 0), (3, 1), (4, 1), (2, 2), (3, 2), (1, 3), (0, 4)

である。

(3)

座標がともに $1$ 以上 $6$ 以下である格子点は

(3, 1), (4, 1), (2, 2), (3, 2), (1, 3)

の5点である。36通りの出方は等確率なので

\frac{5}{36} .

(4)

$Z ≦ W$ と (2) の格子点を合わせると、可能な組は

(Z, W) = (1, 3), (2, 2)

だけである。

$(Z, W) = (1, 3)$ となるには、すべての目が ${1, 2, 3}$ に入り、かつ $1$ と $3$ が少なくとも一度ずつ出ればよい。包除原理により、その列の本数は

# {すべて 1, 2, 3} - # {1 が出ない} - # {3 が出ない} + # {1, 3 がともに出ない} = 3^{n} - 2^{n} - 2^{n} + 1.

また $(Z, W) = (2, 2)$ は、すべて $2$ である1列だけである。したがって

P_{n} = \frac{3 ^{n} - 2 ^{n + 1} + 1 + 1}{6 ^{n}} = \frac{3 ^{n} - 2 ^{n + 1} + 2}{6 ^{n}} .

広島大学 2018年度文系数学 第4問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2018年度
文系数学第4問