広島大学 2017年度 前期理系数学 第5問

(1)
$P=(x,y)$とおくと$$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OA}=50x+14y=6$$である。すなわち$$25x+7y=3$$である。$x=-1$，$y=4$はこれを満たすので，求める格子点の一つは$$P=(-1,4)$$である。

(2)
$25x+7y=3$の整数解は，整数$n$を用いて$$x=-1+7n,y=4-25n$$と表される。このとき$$O{P}^2=(-1+7n{)}^2+(4-25n{)}^2=674n^2-214n+17$$である。整数$n$について調べると，最小は$n=0$，次に小さいのは$n=1$である。したがって$$P_1=(-1,4),P_2=(6,-21)$$である。

(3)
(2)の二次式の値は$$n=0,1,-1,2,-2,3,-3,\dots$$の順に小さくなる。よって$k\geqq 1$に対して$$P_{2k}=(-1+7k,4-25k),P_{2k+1}=(-1-7k,4+25k)$$である。したがって$$\overrightarrow{P_{2k}{P}_{2k+1}}=(-14k,50k)$$であり，また$$P_{2k+2}=(-1+7(k+1),4-25(k+1))$$より$$\overrightarrow{P_{2k}{P}_{2k+2}}=(7,-25)$$である。

(4) $$P_{14}=P_{2\cdot 7}=(48,-171)$$，$$P_{16}=P_{2\cdot 8}=(55,-196)$$であるから$$\overrightarrow{P_{14}{P}_{16}}=(7,-25)$$であり，$Q=(7,-25)$である。

四角形$OQ{P}_{16}{P}_{14}$は，$u=(7,-25)$，$v=(48,-171)$で張られる平行四辺形である。この平行四辺形の周および内部の点は$$(x,y)=su+rv(0\leqq s\leqq 1,0\leqq r\leqq 1)$$と表される。すなわち$$x=7s+48r,y=-25s-171r$$である。これより$$3r=25x+7y,3s=-171x-48y$$となる。$(x,y)$が格子点なら$r,s$はいずれも$\frac{1}{3}$の整数倍である。$$r=\frac{i}{3}$$，$$s=\frac{j}{3}$$$(i,j=0,1,2,3)$とおくと$$x=\frac{48i+7j}{3}$$である。$x$が整数となるには$j=0$または$j=3$でなければならない。したがって格子点は$s=0$または$s=1$上に限られる。実際に$i=0,1,2,3$を代入して，求める格子点は$$(0,0),(16,-57),(32,-114),(48,-171),$$および$$(7,-25),(23,-82),(39,-139),(55,-196)$$である。

一次不定方程式の解集合を1本の格子直線として表し，原点からの距離を平方完成して順序づける。(4)は平行四辺形の行列式と合同条件で格子点を列挙する。

(1) $25x+7y=3$ の一解は$$P=(-1,4)\mathrm{.}$$(2) 一般解は$$P(n)=(-1+7n,4-25n),$$$$\mathrm{\mid }OP(n){\mathrm{\mid }}^2=674n^2-214n+17.$$整数 $n$ で最小は0，次は1だから$$P_1=(-1,4),P_2=(6,-21)\mathrm{.}$$(3) 距離順は $n=0,1,-1,2,-2,\dots$。よって$$\overrightarrow{P_{2k}{P}_{2k+1}}=(-14k,50k),\overrightarrow{P_{2k}{P}_{2k+2}}=(7,-25)\mathrm{.}$$(4) $$P_{14}=(48,-171),P_{16}=(55,-196)$$，$Q=(7,-25)$。平行四辺形は $u=(7,-25),v=(48,-171)$ で張られ，$\mathrm{\mid }\det (u,v)\mathrm{\mid }=3$。格子点は2本の辺上に各4点あり，$$(0,0),(16,-57),(32,-114),(48,-171),$$$$(7,-25),(23,-82),(39,-139),(55,-196)\mathrm{.}$$