広島大学 2017年度理系数学第5問解答・解説

問題

$x$ 座標， $y$ 座標がともに整数である座標平面上の点を格子点とよぶ．格子点 $O (0, 0)$ および $A (50, 14)$ を考える．次の問いに答えよ．(1)　 $O P \cdot O A = 6$ を満たす格子点 $P$ を一つ求めよ．(2)　 $m$ を自然数とする． $O P \cdot O A = 6$ を満たす格子点 $P$ のうち，長さ $O P$ が $m$ 番目に小さい点を $P_{m}$ とする． $P_{1}$ および $P_{2}$ を求めよ．(3)　 $P_{m}$ を(2)で定めた格子点とする．自然数 $k$ に対し，ベクトル $P_{2 k} P_{2 k + 1}$ および $P_{2 k} P_{2 k + 2}$ を成分表示せよ．(4)　 $P_{m}$ を(2)で定めた格子点とする． $Q$ を $O Q = P_{14} P_{16}$ を満たす点とする．四角形 $O Q P_{16} P_{14}$ の周および内部に含まれる格子点をすべて求めよ．

出典：広島大学 2017年度前期理系第5問

方針

解法1

内積条件を一次不定方程式 $25 x + 7 y = 3$ に直し，一般解を整数 $n$ で表す。 $O P^{2}$ を $n$ の二次式にして長さ順を決める。(4)は四角形を二つのベクトルで張られる平行四辺形として表し，内部または周上の格子点条件を係数 $r, s$ の範囲と整数条件から直接絞り込む。

解法2

一次不定方程式の解集合を1本の格子直線として表し，原点からの距離を平方完成して順序づける。(4)は平行四辺形の行列式と合同条件で格子点を列挙する。

解答

解法1

(1)

$P = (x, y)$ とおくと

O P \cdot O A = 50 x + 14 y = 6

である。すなわち

25 x + 7 y = 3

である。 $x = - 1$ ， $y = 4$ はこれを満たすので，求める格子点の一つは

P = (- 1, 4)

である。

(2)

$25 x + 7 y = 3$ の整数解は，整数 $n$ を用いて

x = - 1 + 7 n, y = 4 - 25 n

と表される。このとき

O P^{2} = (- 1 + 7 n)^{2} + (4 - 25 n)^{2} = 674 n^{2} - 214 n + 17

である。整数 $n$ について調べると，最小は $n = 0$ ，次に小さいのは $n = 1$ である。したがって

P_{1} = (- 1, 4), P_{2} = (6, - 21)

である。

(3)

(2)の二次式の値は

n = 0, 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, \dots

の順に小さくなる。よって $k ≧ 1$ に対して

P_{2 k} = (- 1 + 7 k, 4 - 25 k), P_{2 k + 1} = (- 1 - 7 k, 4 + 25 k)

である。したがって

P_{2 k} P_{2 k + 1} = (- 14 k, 50 k)

であり，また

P_{2 k + 2} = (- 1 + 7 (k + 1), 4 - 25 (k + 1))

より

P_{2 k} P_{2 k + 2} = (7, - 25)

である。

(4)

$P_{14} = P_{2 \cdot 7} = (48, - 171)$ ， $P_{16} = P_{2 \cdot 8} = (55, - 196)$ であるから

P_{14} P_{16} = (7, - 25)

であり， $Q = (7, - 25)$ である。

四角形 $O Q P_{16} P_{14}$ は， $u = (7, - 25)$ ， $v = (48, - 171)$ で張られる平行四辺形である。この平行四辺形の周および内部の点は

(x, y) = s u + r v (0 ≦ s ≦ 1, 0 ≦ r ≦ 1)

と表される。すなわち

x = 7 s + 48 r, y = - 25 s - 171 r

である。これより

3 r = 25 x + 7 y, 3 s = - 171 x - 48 y

となる。 $(x, y)$ が格子点なら $r, s$ はいずれも $\frac{1}{3}$ の整数倍である。

$r = \frac{i}{3}$ ， $s = \frac{j}{3}$ $(i, j = 0, 1, 2, 3)$ とおくと

x = \frac{48 i + 7 j}{3}

である。 $x$ が整数となるには $j = 0$ または $j = 3$ でなければならない。したがって格子点は $s = 0$ または $s = 1$ 上に限られる。実際に $i = 0, 1, 2, 3$ を代入して，求める格子点は

(0, 0), (16, - 57), (32, - 114), (48, - 171),

および

(7, - 25), (23, - 82), (39, - 139), (55, - 196)

である。

解法2

(1)

$25 x + 7 y = 3$ の一解は

P = (- 1, 4) .

(2)

一般解は

P (n) = (- 1 + 7 n, 4 - 25 n),

∣ O P (n) ∣^{2} = 674 n^{2} - 214 n + 17.

整数 $n$ で最小は0，次は1だから

P_{1} = (- 1, 4), P_{2} = (6, - 21) .

(3)

距離順は $n = 0, 1, - 1, 2, - 2, \dots$ 。よって

P_{2 k} P_{2 k + 1} = (- 14 k, 50 k), P_{2 k} P_{2 k + 2} = (7, - 25) .

(4)

$P_{14} = (48, - 171), P_{16} = (55, - 196)$ ， $Q = (7, - 25)$ 。平行四辺形は $u = (7, - 25), v = (48, - 171)$ で張られ， $∣ det (u, v) ∣ = 3$ 。格子点は2本の辺上に各4点あり，

(0, 0), (16, - 57), (32, - 114), (48, - 171),

(7, - 25), (23, - 82), (39, - 139), (55, - 196) .

広島大学 2017年度理系数学 第5問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2017年度
理系数学第5問