北海道大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $$f(f(x))=\mid 2\mathrm{\mid }2x-1\mathrm{\mid }-1\mid$$である。折れ点は$$x=0,{\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{3}{4}},1$$で、対応する値は順に$$1,0,1,0,1$$である。したがって、これら5点を線分で結んだW字形のグラフとなる。

(2)
$f^3(x)$ は各$$[{\displaystyle \frac{j}{8}},{\displaystyle \frac{j+1}{8}}](j=0,1,\dots ,7)$$で一次関数であり、端点での値は $1,0,1,0,\dots ,1$ と交互になる。

$j$ が偶数なら $f^3(x)=j+1-8x$ だから$$x={\displaystyle \frac{j+1}{9}}\mathrm{.}$$$j$ が奇数なら $f^3(x)=8x-j$ だから$$x={\displaystyle \frac{j}{7}}\mathrm{.}$$いずれも対応する区間に1個ずつ入る。よって解は$${\displaystyle \frac{1}{9}},{\displaystyle \frac{1}{7}},{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{3}{7}},{\displaystyle \frac{5}{9}},{\displaystyle \frac{5}{7}},{\displaystyle \frac{7}{9}},1$$の8個であり、求める個数は$$\mathbf{8}$$である。

$f(y)=x$ の逆像が $y=(1\pm x)\mathrm{/}2$ であることを利用する。3回逆にたどると8本の一次式が得られ、それぞれと $y=x$ の交点が1つずつある。

(1) $$f(f(x))=\mid 2\mathrm{\mid }2x-1\mathrm{\mid }-1\mid$$なので、絶対値の内側の符号が変わる$$\mathrm{\mid }2x-1\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{2}}$$から $x=1\mathrm{/}4,3\mathrm{/}4$ が新しい折れ点となる。$x=1\mathrm{/}2$ も合わせ、各点の値を代入すれば$$(0,1),({\displaystyle \frac{1}{4}},0),({\displaystyle \frac{1}{2}},1),({\displaystyle \frac{3}{4}},0),(1,1)$$を結ぶグラフを得る。

(2)
$0\leqq x\leqq 1$ に対して$$f(y)=x$$の解は$$y={\displaystyle \frac{1-x}{2}},y={\displaystyle \frac{1+x}{2}}$$の2個である。したがって3回の逆像には、各段階で符号を選ぶ8通りがあり、いずれも $[0,1]$ を長さ $1\mathrm{/}8$ の相異なる区間へ写す一次式となる。

各一次式はその対応区間上で傾きの絶対値が $1\mathrm{/}8<1$ だから、$y=x$ との交点をただ1つもつ。また8区間は内部で重ならない。よって固定点は各枝に1個ずつあり、個数は$$\mathbf{8}$$である。