北海道大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $$f(x)=x^3-x+{\displaystyle \frac{2}{3}}$$ より $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-1$ である。$f(x)$ が減少しないためには $f^{\mathrm{\prime }}(x)\geqq 0$ であればよいので $3x^2-1\geqq 0$ を解く。したがって $$x^2\geqq {\displaystyle \frac{1}{3}}$$ であり、$$x\leqq -{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\text{または}x\geqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$である。

(2) $n$ は正の整数であるから、区間 $n\leqq x<n+1$ は $x\geqq 1$ に含まれる。$(1)$ よりこの区間で $f$ は増加する。したがって、$n\leqq x<n+1$ における $f(x)$ の値域は $f(n)\leqq f(x)<f(n+1)$ である。

ここで $$f(n)=n^3-n+{\displaystyle \frac{2}{3}}$$ であり、$$f(n+1)=(n+1{)}^3-(n+1)+{\displaystyle \frac{2}{3}}$$ である。$n^3-n$ と $(n+1{)}^3-(n+1)$ は整数である。したがって、$[f(n),f(n+1))$ に含まれる整数の個数は $\{(n+1{)}^3-(n+1)\}-(n^3-n)$ である。よって $a_n=(n+1{)}^3-(n+1)-n^3+n$ であり、整理して $a_n=3n^2+3n=3n(n+1)$ となる。

したがって$${\displaystyle \frac{1}{a_k}}={\displaystyle \frac{1}{3k(k+1)}}={\displaystyle \frac{1}{3}}({\displaystyle \frac{1}{k}}-{\displaystyle \frac{1}{k+1}})$$である。よって$$\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{a_k}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\sum _{k=1}^n({\displaystyle \frac{1}{k}}-{\displaystyle \frac{1}{k+1}})$$であり、隣り合う項が消えて$$\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{a_k}}={\displaystyle \frac{1}{3}}(1-{\displaystyle \frac{1}{n+1}})={\displaystyle \frac{n}{3(n+1)}}$$である。

導関数の符号で増加範囲を求める。各区間の像の両端が「整数に $2\mathrm{/}3$ を加えた数」であることから、間にある整数を端の整数部分の差として数え、逆数和を部分分数分解する。

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-1$$だから、$f$ が減少しない範囲は$$x\leqq -{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\text{または}x\geqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$(2)
$n\geqq 1$ では $f$ は区間 $[n,n+1)$ で狭義増加する。整数$$N=n^3-n,M=(n+1{)}^3-(n+1)$$を用いると値域は$$N+{\displaystyle \frac{2}{3}}\leqq f(x)<M+{\displaystyle \frac{2}{3}}\mathrm{.}$$この範囲の整数は $N+1,N+2,\dots ,M$ で、その個数は$$a_n=M-N=3n(n+1)\mathrm{.}$$したがって$${\displaystyle \frac{1}{a_k}}={\displaystyle \frac{1}{3}}({\displaystyle \frac{1}{k}}-{\displaystyle \frac{1}{k+1}})$$より$$\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{a_k}}={\displaystyle \frac{1}{3}}(1-{\displaystyle \frac{1}{n+1}})={\displaystyle \frac{n}{3(n+1)}}\mathrm{.}$$