北海道大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $x$ 軸と交わる時刻を $t>0$ とする。このとき $y=0$ であるから $$1+\sqrt{1-at}-{\displaystyle \frac{t^2}{2}}=0$$ すなわち $$\sqrt{1-at}={\displaystyle \frac{t^2}{2}}-1$$ である。左辺は0以上なので ${\displaystyle \frac{t^2}{2}}-1\geqq 0$ より $t\geqq \sqrt{2}$ である。また $1-at\geqq 0$ で、右辺を2乗して得られる式から結局 $t\leqq 2$ となる。実際、右辺を2乗すると $$1-at={({\displaystyle \frac{t^2}{2}}-1)}^2={\displaystyle \frac{t^4}{4}}-t^2+1$$ だから $$at=t^2-{\displaystyle \frac{t^4}{4}}$$ であり、$t>0$ より $$a=t-{\displaystyle \frac{t^3}{4}}$$ である。$a>0$ なので $$t-{\displaystyle \frac{t^3}{4}}>0$$ すなわち $t<2$ である。したがって $\sqrt{2}\leqq t<2$ である。

関数 $a(t)=t-t^3\mathrm{/}4$ は $\sqrt{2}\leqq t<2$ で単調減少し、値域は $0<a\leqq 1\mathrm{/}\sqrt{2}$ である。したがって問題の交点が存在するのはこの範囲で、各 $a$ に対する時刻 $t_a$ は一意である。$$t_a^3-4t_a+4a=0,\sqrt{2}\leqq t_a<2$$と表せば $$u(a)=\sqrt{a}{t}_a$$ である。同値に $u$ は $[\sqrt{2a},2\sqrt{a})$ にある方程式$$u^3-4au+4a^{5\mathrm{/}2}=0$$の一意な解である。

(2)

(1) の関係式を用いると $$u^2=a{t}^2=(t-{\displaystyle \frac{t^3}{4}})t^2=t^3-{\displaystyle \frac{t^5}{4}}$$ である。$u>0$ なので、$u$ の最大化は $u^2$ の最大化と同じである。$${\displaystyle \frac{d}{dt}}(t^3-{\displaystyle \frac{t^5}{4}})=3t^2-{\displaystyle \frac{5}{4}}{t}^4=t^2(3-{\displaystyle \frac{5}{4}}{t}^2)$$である。$\sqrt{2}\leqq t<2$ において、臨界点は $$t^2={\displaystyle \frac{12}{5}}$$ である。この点は範囲内にあり、導関数の符号はその前で正、その後で負になるので最大を与える。

したがって $$t=\sqrt{{\displaystyle \frac{12}{5}}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{15}}{5}}$$ である。このとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a}& {\displaystyle =t-{\displaystyle \frac{t^3}{4}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =t(1-{\displaystyle \frac{t^2}{4}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2\sqrt{15}}{5}}(1-{\displaystyle \frac{3}{5}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4\sqrt{15}}{25}}}\end{array}$$であり、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle u^2}& {\displaystyle =a{t}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4\sqrt{15}}{25}}\cdot {\displaystyle \frac{12}{5}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{48\sqrt{15}}{125}}}\end{array}$$である。よって $$u_{\max }=\sqrt{{\displaystyle \frac{48\sqrt{15}}{125}}}$$ である。

(3)

速度ベクトルは$$({\displaystyle \frac{dx}{dt}},{\displaystyle \frac{dy}{dt}})=(\sqrt{a},-{\displaystyle \frac{a}{2\sqrt{1-at}}}-t)$$である。したがって $t=0$ では $(\sqrt{a},-{\displaystyle \frac{a}{2}})$ である。

(2) で最大値を与える $$a={\displaystyle \frac{4\sqrt{15}}{25}}$$ を用いる。速度ベクトルは右下向きなので、$x$ 軸の正の向きとなす鋭角を $\theta$ とすると $$\tan \theta ={\displaystyle \frac{a\mathrm{/}2}{\sqrt{a}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{2}}$$ である。ここで $$\sqrt{a}=\sqrt{{\displaystyle \frac{4\sqrt{15}}{25}}}={\displaystyle \frac{2\sqrt[4]{15}}{5}}$$ だから $$\tan \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt[4]{15}}{5}}$$ である。よって求める角 $\theta$ は $0<\theta <\pi \mathrm{/}2$ かつ $$\tan \theta =\sqrt[4]{15}\mathrm{/}5$$ を満たす一意な角である。

交点時刻 $t$ を媒介変数として $a=t(1-t^2\mathrm{/}4)$ を得る。$s=t^2$ と置いて $u^4=s^3(1-s\mathrm{/}4{)}^2$ の増減を調べ、最後に速度ベクトルの成分比から角を決める。

(1)

$y=0$ なら$$\sqrt{1-at}={\displaystyle \frac{t^2}{2}}-1.$$右辺が非負であることと $a>0$ から$$\sqrt{2}\leqq t<2.$$両辺を2乗して整理すると$$a=t-{\displaystyle \frac{t^3}{4}}=t(1-{\displaystyle \frac{t^2}{4}})\mathrm{.}$$右辺は $[\sqrt{2},2)$ で単調に減少し、その値域は $(0,1\mathrm{/}\sqrt{2}]$ である。
したがって問題の交点が存在するのは $0<a\leqq 1\mathrm{/}\sqrt{2}$ の場合で、各 $a$ に対する時刻 $t_a$ は一意である。$$t_a^3-4t_a+4a=0,\sqrt{2}\leqq t_a<2,$$と表せば$$u(a)=\sqrt{a}{t}_a\mathrm{.}$$同値に、$u$ は区間 $[\sqrt{2a},2\sqrt{a})$ にある方程式$$u^3-4au+4a^{5\mathrm{/}2}=0$$の一意な解である。

(2)

$s=t^2$ とおくと $2\leqq s<4$ であり、$$u^4=a^2{t}^4=s^3{(1-{\displaystyle \frac{s}{4}})}^2\mathrm{.}$$対数微分と同じ積の微分を直接行えば、正の定数因子を除いた導関数の符号は$$3(4-s)-2s=12-5s$$で決まる。よって最大は$$s={\displaystyle \frac{12}{5}},t=\sqrt{{\displaystyle \frac{12}{5}}}$$のときである。このとき$$a=t(1-{\displaystyle \frac{t^2}{4}})={\displaystyle \frac{4\sqrt{15}}{25}},$$$$u_{\max }^{}=a{t}^2={\displaystyle \frac{48\sqrt{15}}{125}}\mathrm{.}$$したがって$$u_{\max }=\sqrt{{\displaystyle \frac{48\sqrt{15}}{125}}}\mathrm{.}$$(3)$${({\displaystyle \frac{dx}{dt}},{\displaystyle \frac{dy}{dt}})\mid }_{t=0}=(\sqrt{a},-{\displaystyle \frac{a}{2}})\mathrm{.}$$このベクトルと $x$ 軸の正の向きとのなす角を $\theta$ とすると $0<\theta <\pi \mathrm{/}2$ で、$$\tan \theta ={\displaystyle \frac{a\mathrm{/}2}{\sqrt{a}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt[4]{15}}{5}}\mathrm{.}$$この条件を満たす鋭角 $\theta$ が求める角である。