北海道大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

二次関数を平方完成すると $x^2-2ax+b=(x-a{)}^2+b-a^2$ である。頂点は $x=a$ である。

【場合1：$a\leqq 1$ のとき】
頂点 $x=a$ は範囲 $x\leqq 1$ に含まれるので、最小値は $m=b-a^2$ である。一方、条件 $a-2b\geqq 3$ は $$b\leqq {\displaystyle \frac{a-3}{2}}$$ と同値である。したがって $$m=b-a^2\leqq {\displaystyle \frac{a-3}{2}}-a^2=-a^2+{\displaystyle \frac{a}{2}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}$$ である。右辺を平方完成すると $$-a^2+{\displaystyle \frac{a}{2}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}=-{(a-{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2-{\displaystyle \frac{23}{16}}$$ であるから、$a\leqq 1$ の範囲での最大値は $-{\displaystyle \frac{23}{16}}$ である。この値は $a={\displaystyle \frac{1}{4}}$、$$b={\displaystyle \frac{a-3}{2}}=-{\displaystyle \frac{11}{8}}$$ のとき実現する。

【場合2：$a>1$ のとき】
頂点は範囲 $x\leqq 1$ の右側にある。この範囲では関数は $x=1$ に向かって減少するので、最小値は $m=1-2a+b$ である。条件より $$m\leqq 1-2a+{\displaystyle \frac{a-3}{2}}=-{\displaystyle \frac{3a}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。$a>1$ だから $$-{\displaystyle \frac{3a}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}<-2$$ であり、この場合の $m$ は $-2$ より小さい。これは場合1で得た $-{\displaystyle \frac{23}{16}}$ より小さい。

以上より、$m$ の最大値は $-{\displaystyle \frac{23}{16}}$ である。

最小値 $m$ は、定義域内のどの1点での関数値以下でもある。そこで、最適な場合の頂点になる $x={\displaystyle \frac{1}{4}}$ を先に代入する。係数条件を使うと $a$ が消え、全ての $(a,b)$ に共通する上界が得られる。最後に、評価で使った二つの不等式が同時に等号となる係数を決め、実際に最小値がその上界へ達することまで確認する。

$q(x)=x^2-2ax+b$ とおく。点 $x={\displaystyle \frac{1}{4}}$ は常に定義域 $x\leqq 1$ に入るので、最小値の定義から$$m\leqq q\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)={\displaystyle \frac{1}{16}}-{\displaystyle \frac{a}{2}}+b\mathrm{.}$$また、条件 $a-2b\geqq 3$ は$$b\leqq {\displaystyle \frac{a-3}{2}}$$と同値である。したがって$$m\leqq {\displaystyle \frac{1}{16}}-{\displaystyle \frac{a}{2}}+{\displaystyle \frac{a-3}{2}}=-{\displaystyle \frac{23}{16}}\mathrm{.}$$この上界の実現を確かめる。係数条件で等号とし、さらに $x={\displaystyle \frac{1}{4}}$ を頂点とするには$$a={\displaystyle \frac{1}{4}},b={\displaystyle \frac{a-3}{2}}=-{\displaystyle \frac{11}{8}}$$とすればよい。このとき$$q(x)={(x-{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2-{\displaystyle \frac{23}{16}}\mathrm{.}$$頂点は $x\leqq 1$ に含まれ、係数条件にも等号で適合するので、実際に $$m=-{\displaystyle \frac{23}{16}}$$ となる。

以上より、求める最大値は$$-{\displaystyle \frac{23}{16}}$$である。