北海道大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $u=x^2$ とおくと $u\geqq 0$ であり、$$f(x)=a(u-2+{\displaystyle \frac{a}{1+u}})$$ である。

まず $a<0$ ならば、$u$ を十分大きくしたとき括弧内は正になり、$f(x)<0$ となる。$a=0$ では $f(x)=0$ であり、正ではない。したがって必要条件として $a>0$ が得られる。

以下 $a>0$ とする。このとき $f(x)>0$ がすべての実数 $x$ で成り立つことは $$u-2+{\displaystyle \frac{a}{1+u}}>0(u\geqq 0)$$ と同値である。$1+u>0$ なので分母を払うと $(u-2)(1+u)+a>0$ すなわち $$u^2-u+a-2>0(u\geqq 0)$$ となる。この2次式は $$u^2-u+a-2={(u-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+a-{\displaystyle \frac{9}{4}}$$ である。最小値は $u={\displaystyle \frac{1}{2}}$ のとき $a-{\displaystyle \frac{9}{4}}$ だから、すべての $u\geqq 0$ で正となるための条件は $a>{\displaystyle \frac{9}{4}}$ である。

(2)
(1)の範囲では $f(x)>0$ であるから、求める面積は$$S(a)={\int }_0^1(a{x}^2+{\displaystyle \frac{a^2}{1+x^2}}-2a)dx$$である。各項を積分すると$${\int }_0^{1}a{x}^{2}dx={\displaystyle \frac{a}{3}},{\int }_0^1{\displaystyle \frac{a^2}{1+x^2}}dx={\displaystyle \frac{\pi a^2}{4}},{\int }_0^{1}2adx=2a$$だから $$S(a)={\displaystyle \frac{\pi a^2}{4}}-{\displaystyle \frac{5a}{3}}$$ である。したがって $$S(a)-3a={\displaystyle \frac{\pi a^2}{4}}-{\displaystyle \frac{14a}{3}}$$ となる。平方完成すると$${\displaystyle \frac{\pi a^2}{4}}-{\displaystyle \frac{14a}{3}}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}{(a-{\displaystyle \frac{28}{3\pi }})}^2-{\displaystyle \frac{196}{9\pi }}$$である。$${\displaystyle \frac{28}{3\pi }}>{\displaystyle \frac{9}{4}}$$ なので、この頂点は許される範囲内にある。よって最小値は $-{\displaystyle \frac{196}{9\pi }}$ である。

まず $a\leqq 0$ を除く。$t=1+x^2\geqq 1$ と置くと、正値条件は $t+a\mathrm{/}t>3$ に帰着する。相加相乗平均と等号位置から $a$ の範囲を得る。(2) は面積を積分し、$a$ に関する二次式を微分して許容範囲内の頂点を確認する。

(1)
$a<0$ では $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ を大きくすると $f(x)<0$、$a=0$ では $f(x)=0$ なので、必要なのは $a>0$ である。$$t=1+x^2(t\geqq 1)$$とおくと$${\displaystyle \frac{f(x)}{a}}=t-3+{\displaystyle \frac{a}{t}}\mathrm{.}$$求める条件は$$t+{\displaystyle \frac{a}{t}}>3$$がすべての $t\geqq 1$ で成り立つことである。$0<a\leqq 1$ では $t=1$ のとき $1+a\leqq 2$ となるので不適である。したがって $a>1$ が必要であり、この範囲では相加相乗平均より最小値は $$t=\sqrt{a}$$ で$$2\sqrt{a}$$である。よって必要十分条件は$$2\sqrt{a}>3,$$すなわち$$a>{\displaystyle \frac{9}{4}}\mathrm{.}$$(2)$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(a)}& {\displaystyle ={\int }_0^1(a{x}^2+{\displaystyle \frac{a^2}{1+x^2}}-2a)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi a^2}{4}}-{\displaystyle \frac{5a}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$H(a)=S(a)-3a={\displaystyle \frac{\pi a^2}{4}}-{\displaystyle \frac{14a}{3}}\mathrm{.}$$$$H^{\mathrm{\prime }}(a)={\displaystyle \frac{\pi a}{2}}-{\displaystyle \frac{14}{3}}$$より、最小候補は$$a={\displaystyle \frac{28}{3\pi }}>{\displaystyle \frac{9}{4}}\mathrm{.}$$$H$ は下に凸なのでここで最小となり、$$\min \{S(a)-3a\}=-{\displaystyle \frac{196}{9\pi }}\mathrm{.}$$