北海道大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $D_a$ が空集合でないためには、ある実数 $x$ に対して $x^2-ax+a\leqq -x^2+3a$ が成り立てばよい。これを整理すると $2x^2-ax-2a\leqq 0$ である。

左辺を $q(x)=2x^2-ax-2a$ とおく。これは上に開く2次式であり、頂点は $$x={\displaystyle \frac{a}{4}}$$ である。最小値は$$q\left({\displaystyle \frac{a}{4}}\right)=2\cdot {\displaystyle \frac{a^2}{16}}-a\cdot {\displaystyle \frac{a}{4}}-2a=-{\displaystyle \frac{a^2}{8}}-2a=-{\displaystyle \frac{a(a+16)}{8}}$$である。したがって、ある $x$ で $q(x)\leqq 0$ となるための条件は $-{\displaystyle \frac{a(a+16)}{8}}\leqq 0$ すなわち $a(a+16)\geqq 0$ である。よって $$a\leqq -16\text{または}a\geqq 0$$ である。

(2)
求める集合は、$1\leqq a\leqq 2$ を満たすすべての $a$ について $$y\leqq -x^2+3a,y\geqq x^2-ax+a$$ を同時に満たす点の集合である。

まず上側条件を考える。$-x^2+3a$ は $a$ について増加するので、すべての $a\in [1,2]$ で $y\leqq -x^2+3a$ を満たすための必要十分条件は、最も小さい $a=1$ の場合を満たすことである。したがって $y\leqq -x^2+3$ である。

次に下側条件を考える。 $x^2-ax+a=x^2+a(1-x)$ である。これが $1\leqq a\leqq 2$ のすべてで下からの条件になるには、右辺の最大値以上に $y$ がなければならない。 $x\leqq 1$ のときは $1-x\geqq 0$ なので、最大値は $a=2$ で生じる。よって $$y\geqq x^2+2(1-x)=x^2-2x+2$$ である。この場合、上側条件と両立するには $x^2-2x+2\leqq -x^2+3$ すなわち $2x^2-2x-1\leqq 0$ が必要である。したがって $${\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}}{2}}\leqq x\leqq 1$$ であり、この部分は$${\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}}{2}}\leqq x\leqq 1,x^2-2x+2\leqq y\leqq -x^2+3$$である。 $x\geqq 1$ のときは $1-x\leqq 0$ なので、最大値は $a=1$ で生じる。よって $y\geqq x^2+1-x=x^2-x+1$ である。上側条件と両立するには $x^2-x+1\leqq -x^2+3$ すなわち $2x^2-x-2\leqq 0$ が必要である。したがって $$1\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1+\sqrt{17}}{4}}$$ であり、この部分は$$1\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1+\sqrt{17}}{4}},x^2-x+1\leqq y\leqq -x^2+3$$である。

以上より、求める集合は上の2つの領域の和集合である。図示すると、上端は共通して放物線 $y=-x^2+3$ であり、下端は $x\leqq 1$ 側では $y=x^2-2x+2$、$x\geqq 1$ 側では $y=x^2-x+1$ である。境界はいずれも含む。

(1) は2曲線の差の2次式が0以下になる条件を判別式で求める。(2)は上側境界の最小値と下側境界の最大値をパラメータ区間の端で取り、$x=1$ で場合を分ける。

(1)
2曲線の間に点が存在するには、ある $x$ について$$2x^2-ax-2a\leqq 0$$となればよい。左辺は上に開く2次式なので、実数解をもつ条件は判別式が0以上であること、すなわち$$a^2+16a=a(a+16)\geqq 0.$$よって$$a\leqq -16\text{または}a\geqq 0.$$(2)
すべての $a\in [1,2]$ に対して上側条件を満たすには$$y\leqq \underset{1\leqq a\leqq 2}{\min }(-x^2+3a)=-x^2+3$$が必要十分である。下側は$$y\geqq x^2+\underset{1\leqq a\leqq 2}{\max }a(1-x)\mathrm{.}$$$x\leqq 1$ では最大は $a=2$、$x\geqq 1$ では最大は $a=1$ だから$$y\geqq \{\begin{array}{ll}{x}^2-2x+2,& x\leqq 1,\\ x^2-x+1,& x\geqq 1.\end{array}$$上端との交点まで含めると、求める集合は$$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}}{2}}\leqq x\leqq 1,x^2-2x+2\leqq y\leqq -x^2+3,\\ 1\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1+\sqrt{17}}{4}},x^2-x+1\leqq y\leqq -x^2+3\end{array}$$の和集合である。