北海道大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

$t=\tan \theta$ とおく。$-\pi \mathrm{/}2<\theta <\pi \mathrm{/}2$ であるから $t$ は実数であり、$1+t^2>0$ である。

このとき$$E+X=\left(\begin{array}{cc}1& -t\\ t& 1\end{array}\right),E-X=\left(\begin{array}{cc}1& t\\ -t& 1\end{array}\right)$$である。$E-X$ の行列式は $1+t^2$ であるから、逆行列は$$(E-X{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{1+t^2}}\left(\begin{array}{cc}1& -t\\ t& 1\end{array}\right)$$である。

したがって$$(E+X)(E-X{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{1+t^2}}\left(\begin{array}{cc}1& -t\\ t& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -t\\ t& 1\end{array}\right)$$である。積を計算すると$$(E+X)(E-X{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{1+t^2}}\left(\begin{array}{cc}1-t^2& -2t\\ 2t& 1-t^2\end{array}\right)$$となる。

ここで $t=\tan \theta$ だから、倍角公式より $${\displaystyle \frac{1-t^2}{1+t^2}}=\cos 2\theta ,{\displaystyle \frac{2t}{1+t^2}}=\sin 2\theta$$ である。よって$$(E+X)(E-X{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{array}\right)$$である。

これは原点を中心として角 $2\theta$ だけ回転する1次変換を表す行列である。したがって求める回転角は $2\theta$ である。

$(E-X)(u,v)=(x,y)$ を解き、続けて $E+X$ を作用させて点の像を求める。像の座標を倍角公式で整理し、長さと向きから回転角を確認する。

任意の点 $(x,y)$ に対し$$(E-X)\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$$を解く。$t=\tan \theta$ と置けば$$u={\displaystyle \frac{x-ty}{1+t^2}},v={\displaystyle \frac{tx+y}{1+t^2}}\mathrm{.}$$次に $E+X$ を作用させた像を $(X,Y)$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle X}& {\displaystyle =u-tv={\displaystyle \frac{(1-t^2)x-2ty}{1+t^2}},}\\ {\displaystyle Y}& {\displaystyle =tu+v={\displaystyle \frac{2tx+(1-t^2)y}{1+t^2}}\mathrm{.}}\end{array}$$倍角公式より$$X=x\cos 2\theta -y\sin 2\theta ,Y=x\sin 2\theta +y\cos 2\theta \mathrm{.}$$これは各点を原点のまわりに角 $2\theta$ だけ回転した座標である。したがって求める変換は原点中心の回転で、回転角は $2\theta$ である。