北海道大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) 曲線 $$y=x\sqrt{4x-x^2}$$ が実数で定まるには $4x-x^2=x(4-x)\geqq 0$ が必要なので $0\leqq x\leqq 4$ である。

曲線上の点を $(x,y)$ とすると，点 $(3,0)$ との距離の二乗を $D$ として $D=(x-3{)}^2+y^2$ である。ここで $y^2=x^2(4x-x^2)$ だから $D=(x-3{)}^2+x^2(4x-x^2)$ である。展開すると $D=-x^4+4x^3+x^2-6x+9$ となり，微分して $$D^{\mathrm{\prime }}=-4x^3+12x^2+2x-6=-2(x-3)(2x^2-1)$$ を得る。

区間 $0\leqq x\leqq 4$ での候補は $$x=0,x={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},x=3,x=4$$ である。それぞれを調べると $$D(0)=9,D(4)=1,D(3)=27$$ であり，$x=1\mathrm{/}\sqrt{2}$ での値は27より小さい。したがって最大は $x=3$ のときで $D_{\text{max}}=27$ である。よって距離の最大値は $3\sqrt{3}$ である。

(2) 曲線を $x$ 軸の方向に $-2$ だけ平行移動する。新しい座標を $(x,y)$ とすると，もとの曲線上の対応する点は $(x+2,y)$ である。したがってもとの式の $x$ を $x+2$ に置き換えて $$y=(x+2)\sqrt{4(x+2)-(x+2{)}^2}$$ となる。根号内を整理すると $4(x+2)-(x+2{)}^2=4-x^2$ なので $$y=(x+2)\sqrt{4-x^2}$$ である。定義域は $-2\leqq x\leqq 2$ であり，曲線は $y\geqq 0$ の部分である。同値な形として $$y^2=(x+2{)}^2(4-x^2),-2\leqq x\leqq 2,y\geqq 0$$ と書いてもよい。

(3) 求める面積を $T$ とすると $$T={\int }_0^{4}x\sqrt{4x-x^2}dx$$ である。ここで $x=2+u$ とおくと，$x=0$ から $4$ まで動くとき，$u$ は $-2$ から $2$ まで動く。また $4x-x^2=4-(x-2{)}^2=4-u^2$ であるから $$T={\int }_{-2}^2(u+2)\sqrt{4-u^2}du$$ である。右辺のうち $u\sqrt{4-u^2}$ は奇関数なので，$[-2,2]$ での積分は0である。したがって $$T=2{\int }_{-2}^2\sqrt{4-u^2}du$$ である。これは半径2の半円の面積の2倍なので $$T=2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\pi \cdot 2^2=4\pi$$ である。

(1) は距離の二乗の最大値との差を因数分解し、微分せずに上限と等号条件を同時に得る。(3)は中心を $x=2$ に移してから三角置換を行い、奇関数になる部分を対称区間で消す。

(1) 定義域は $0\leqq x\leqq 4$ である。曲線上の点と $(3,0)$ との距離の二乗を $D$ とすると$$D=(x-3{)}^2+x^2(4x-x^2)=-x^4+4x^3+x^2-6x+9.$$ここで$$27-D=(x-3{)}^2(x^2+2x+2)$$と因数分解できる。$x^2+2x+2=(x+1{)}^2+1>0$ だから $D\leqq 27$ であり、等号は $x=3$ で成り立つ。よって最大距離は$$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$$である。

(2) 左へ2だけ平行移動するので、もとの式の $x$ を $x+2$ に置き換える。したがって$$y=(x+2)\sqrt{4-x^2},-2\leqq x\leqq 2$$である。

(3) 求める面積を $T$ とする。$x-2=2\sin \theta$ とおくと、$$-\pi \mathrm{/}2\leqq \theta \leqq \pi \mathrm{/}2$$ で$$dx=2\cos \theta d\theta ,\sqrt{4-(x-2{)}^2}=2\cos \theta$$である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T}& {\displaystyle ={\int }_0^{4}x\sqrt{4-(x-2{)}^2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =8{\int }_{-\pi \mathrm{/}2}^{\pi \mathrm{/}2}(1+\sin \theta ){\cos }^2\theta d\theta \mathrm{.}}\end{array}$$$\sin \theta {\cos }^2\theta$ は奇関数だから、その積分は0である。また$${\int }_{-\pi \mathrm{/}2}^{\pi \mathrm{/}2}{\cos }^2\theta d\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$なので$$T=8\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{2}}=4\pi$$である。