北海道大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
条件 $\mathrm{\mid }X\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }Y\mathrm{\mid }\leqq 2$ は、各象限で絶対値を外すと直線で表される。例えば第1象限では $X+Y\leqq 2$、第2象限では $-X+Y\leqq 2$ である。同様に4象限を合わせると、境界は $$X+Y=2,-X+Y=2,-X-Y=2,X-Y=2$$ である。したがって、点 $P(X,Y)$ の範囲は $(2,0),(0,2),(-2,0),(0,-2)$ を頂点とするひし形の内部および周である。

(2) $x=X-Y$, $y=XY$ とおく。まず、与えられた $x,y$ に対して実数 $X,Y$ が存在する条件を調べる。 $$(X+Y{)}^2=(X-Y{)}^2+4XY=x^2+4y$$ であるから、必要条件として $x^2+4y\geqq 0$ すなわち $$y\geqq -{\displaystyle \frac{x^2}{4}}$$ が必要である。逆にこの条件が成り立てば、$X+Y$ を $\pm \sqrt{x^2+4y}$ として $$X={\displaystyle \frac{(X+Y)+(X-Y)}{2}},Y={\displaystyle \frac{(X+Y)-(X-Y)}{2}}$$ により実数 $X,Y$ が作れる。したがってこれは存在条件でもある。

次に、元の領域条件を $x,y$ で書く。 $$(\mathrm{\mid }X\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }Y\mathrm{\mid }{)}^2=X^2+Y^2+2\mathrm{\mid }XY\mathrm{\mid }$$ であり、$$X^2+Y^2=(X-Y{)}^2+2XY=x^2+2y$$ だから $(\mathrm{\mid }X\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }Y\mathrm{\mid }{)}^2=x^2+2y+2\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }$ である。よって $x^2+2y+2\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\leqq 4$ が必要十分条件となる。 $y\geqq 0$ のときは $x^2+4y\leqq 4$ であるから $$0\leqq y\leqq 1-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}$$ である。このとき右辺が非負でなければならないので $-2\leqq x\leqq 2$ も含まれる。 $y<0$ のときは $\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }=-y$ なので $x^2\leqq 4$ であり、存在条件 $y\geqq -x^2\mathrm{/}4$ と合わせて $$-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}\leqq y<0,-2\leqq x\leqq 2$$ である。

以上を合わせると、点 $Q(x,y)$ の動く範囲は$$-2\leqq x\leqq 2,-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}\leqq y\leqq 1-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}$$である。図示すると、$x=-2$ から $x=2$ までの間で、下側の放物線 $y=-x^2\mathrm{/}4$ と上側の放物線 $y=1-x^2\mathrm{/}4$ に挟まれた部分であり、境界を含む。

$v=X+Y$ を導入する。恒等式 $\mathrm{\mid }v+x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }v-x\mathrm{\mid }=2\max (\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid })$ により、ひし形を $(x,v)$ 平面の正方形へ移し、$y=(v^2-x^2)\mathrm{/}4$ の値域を読む。

(1)
$\mid X\mid +\mid Y\mid \leqq 2$ は、4点 $(2,0),(0,2),(-2,0),(0,-2)$ を頂点とするひし形の内部と周である。

(2) $$x=X-Y,v=X+Y$$と置くと$$X={\displaystyle \frac{v+x}{2}},Y={\displaystyle \frac{v-x}{2}}\mathrm{.}$$実数 $p,q$ について$$\mid p+q\mid +\mid p-q\mid =2\max (\mid p\mid ,\mid q\mid )$$だから、元の条件は$$\mid x\mid \leqq 2,\mid v\mid \leqq 2$$と同値である。また$$y=XY={\displaystyle \frac{v^2-x^2}{4}}\mathrm{.}$$固定した $x$ に対して $0\leqq v^2\leqq 4$ なので$$-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}\leqq y\leqq 1-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}\mathrm{.}$$したがって求める範囲は$$-2\leqq x\leqq 2,-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}\leqq y\leqq 1-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}$$であり、上下2本の放物線に挟まれた閉領域である。