北海道大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
不等式を$$y\leqq 3,y\geqq 4-x,y\leqq 8-2x$$と書き直す。3本の境界直線の交点は$$(1,3),({\displaystyle \frac{5}{2}},3),(4,0)$$である。したがって $D$ はこれらを頂点とする、境界を含む三角形である。

(2)
$D$ では $1\leqq x\leqq 4$ である。また $k$ は $y$ の係数が正なので、固定した $x$ に対して $y$ が小さいほど小さく、大きいほど大きい。

下側境界 $y=4-x$ では$$\begin{array}{rl}{\displaystyle k}& {\displaystyle =x^2-5x+4}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={(x-{\displaystyle \frac{5}{2}})}^2-{\displaystyle \frac{9}{4}}(1\leqq x\leqq 4)\mathrm{.}}\end{array}$$よって最小値は$$-{\displaystyle \frac{9}{4}}$$で、点 $(5\mathrm{/}2,3\mathrm{/}2)$ で実現する。

上側境界は2つに分かれる。$1\leqq x\leqq 5\mathrm{/}2$ では$$k=(x-2{)}^2-1$$であり、最大値は端点 $x=1$ での $0$ である。$5\mathrm{/}2\leqq x\leqq 4$ では$$k=(x-3{)}^2-1$$であり、最大値は端点 $x=4$ での $0$ である。

したがって$$\text{最大値 }0,\text{最小値 }-{\displaystyle \frac{9}{4}}\mathrm{.}$$

$k$ を固定すると、点 $(x,y)$ は放物線 $y=-x^2+4x+k$ 上にある。この放物線を上下へ平行移動し、三角形 $D$ と接する、または頂点を通る限界位置から最大・最小を求める。

(1)
3直線の交点を調べると、領域 $D$ は$$(1,3),({\displaystyle \frac{5}{2}},3),(4,0)$$を頂点とする三角形である。

(2)
$k$ を一定とすると$$y=-x^2+4x+k=-(x-2{)}^2+4+k$$となる。したがって $k$ の変化は、同じ形の放物線の上下移動に対応する。

下へ動かした放物線が $D$ に初めて触れるのは、下辺$$y=4-x$$に接するときである。交点条件は$$-x^2+4x+k=4-x,$$すなわち$$x^2-5x+4-k=0.$$接するとき判別式が0だから$$25-4(4-k)=0.$$これより$$k=-{\displaystyle \frac{9}{4}},x={\displaystyle \frac{5}{2}}\mathrm{.}$$一方、$k=0$ の放物線$$y=-x^2+4x$$は頂点 $(1,3)$ と $(4,0)$ を通る。$k>0$ なら、$1\leqq x\leqq 5\mathrm{/}2$ では$$y-3=-(x-1)(x-3)+k>0$$となる部分が生じ、$5\mathrm{/}2\leqq x\leqq 4$ でも$$y-(8-2x)=-(x-2)(x-4)+k>0$$となるため、$D$ と交わらない。したがって最大値は $0$ である。

ゆえに$$\text{最大値 }0,\text{最小値 }-{\displaystyle \frac{9}{4}}\mathrm{.}$$