北海道大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
直線 $L$ は $x=py$ である。これを $y^2=ax$ に代入すると $y^2=apy$ であり、$y(y-ap)=0$ となる。したがって $y=0,ap$ であり、対応する $x$ 座標は $x=py$ から $(0,0),(a{p}^2,ap)$ である。

(2) $0\leqq x\leqq a{p}^2$ では、放物線の上側が $$y=\sqrt{ax}$$、直線が $$y={\displaystyle \frac{x}{p}}$$ である。また $$\sqrt{ax}\geqq {\displaystyle \frac{x}{p}}$$ は、この範囲で成り立つ。したがって $x$ 軸のまわりの回転体の体積は$$V=\pi {\int }_0^{a{p}^2}\{(\sqrt{ax}{)}^2-{\left({\displaystyle \frac{x}{p}}\right)}^2\}dx$$であり、$$V=\pi {\int }_0^{a{p}^2}(ax-{\displaystyle \frac{x^2}{p^2}})dx=\pi {[{\displaystyle \frac{a}{2}}{x}^2-{\displaystyle \frac{x^3}{3p^2}}]}_0^{a{p}^2}$$となる。よって$$V=\pi ({\displaystyle \frac{a^3{p}^4}{2}}-{\displaystyle \frac{a^3{p}^4}{3}})={\displaystyle \frac{\pi a^3{p}^4}{6}}$$である。

(3)
条件式より $a^3{p}^4=p^3-p^2-p+2$ であるから、(2)の結果は $$V={\displaystyle \frac{\pi }{6}}(p^3-p^2-p+2)$$ となる。ここで $$h(p)=p^3-p^2-p+2(p>0)$$ とおくと $$h^{\mathrm{\prime }}(p)=3p^2-2p-1=(3p+1)(p-1)$$ である。正の範囲では $0<p<1$ で $h^{\mathrm{\prime }}(p)<0$、$p>1$ で $h^{\mathrm{\prime }}(p)>0$ なので、$p=1$ で最小となる。実際 $h(1)=1$ であり、このとき条件式から $a^3=1$、すなわち $a=1$ も正で条件に合う。したがって $$V_{\min }={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$$ である。

交点は代入で求める。体積は高さ $y$ の円筒殻を用い、半径 $y$、横幅 $py-y^2\mathrm{/}a$ を積分する。(3) は体積に条件式を代入した後、三次式と1との差を因数分解して、微分を使わず最小値を決める。

(1) $$x=py,y^2=ax$$より$$y(y-ap)=0.$$したがって交点は$$(0,0),(a{p}^2,ap)$$である。

(2)
$0\leqq y\leqq ap$ では、領域の左端と右端は$$x={\displaystyle \frac{y^2}{a}},x=py$$である。$x$ 軸のまわりの円筒殻を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =2\pi {\int }_0^{ap}y(py-{\displaystyle \frac{y^2}{a}})dy}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\pi {[{\displaystyle \frac{p{y}^3}{3}}-{\displaystyle \frac{y^4}{4a}}]}_0^{ap}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi a^3{p}^4}{6}}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)
条件から$$V={\displaystyle \frac{\pi }{6}}(p^3-p^2-p+2)\mathrm{.}$$ここで$$p^3-p^2-p+2-1=(p-1{)}^2(p+1)\geqq 0$$であり、$p>0$ では等号は $p=1$ のときに限る。このとき条件から $a=1$ である。よって$$V_{\min }={\displaystyle \frac{\pi }{6}}\mathrm{.}$$