北海道大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
$f(x)=3x^2-2(a+1)x+a^2$ の判別式を $D$ とすると、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle D}& {\displaystyle =\{-2(a+1){\}}^2-4\cdot 3a^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-8a^2+8a+4}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-8{(a-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+6.}\end{array}$$2交点が存在するのは $D>0$ のときである。2つの根を $\alpha ,\beta$ とすれば、根の公式から$$\mathrm{\mid }\alpha -\beta \mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\sqrt{D}}{3}}$$であるから、距離を最大にするには $D$ を最大にすればよい。よって$$a={\displaystyle \frac{1}{2}},\mathrm{\mid }\alpha -\beta \mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}$$である。

(2)
相異なる実数解をもつための条件は$$D>0⟺{\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}}{2}}<a<{\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{2}}$$である。この範囲では放物線の軸$$x={\displaystyle \frac{a+1}{3}}$$は $0<x<1$ にある。また$$f(0)=a^2,f(1)=(a-1{)}^2$$だから、両端で正となる条件は $a\mathrm{\ne }0,1$ である。

放物線は上に開き、軸での値は $-D\mathrm{/}12<0$ である。したがって、軸が区間内にあり両端で正なら、2つの交点はともに $(0,1)$ にある。逆も明らかである。ゆえに$${\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}}{2}}<a<{\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{2}},a\mathrm{\ne }0,1$$が必要十分である。

平方完成で交点間距離を軸からの左右の距離として求める。(2)では2根を根の公式で明示し、小さい根が正、大きい根が1未満となる条件をそれぞれ平方して判定する。平方する前に両辺が正であることを確認し、端点 $a=0,1$ が除かれる理由まで式で示す。

(1)
平方完成すると$$f(x)=3{(x-{\displaystyle \frac{a+1}{3}})}^2+{\displaystyle \frac{2a^2-2a-1}{3}}$$である。2交点があるとき、軸から各交点までの距離は$$\sqrt{-{\displaystyle \frac{2a^2-2a-1}{9}}}$$だから、交点間距離 $L$ は$$L={\displaystyle \frac{2}{3}}\sqrt{-2a^2+2a+1}={\displaystyle \frac{2}{3}}\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}-2{(a-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2}\mathrm{.}$$よって $a={\displaystyle \frac{1}{2}}$ のとき最大となり、$$L_{\max }={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}$$である。

(2)
根の公式により2根は$$\alpha ={\displaystyle \frac{a+1-\sqrt{-2a^2+2a+1}}{3}},\beta ={\displaystyle \frac{a+1+\sqrt{-2a^2+2a+1}}{3}}$$である。まず根号内が正である条件は$${\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}}{2}}<a<{\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{2}}\mathrm{.}$$この範囲では $a+1>0$, $2-a>0$ である。したがって$$\alpha >0⟺a+1>\sqrt{-2a^2+2a+1}⟺3a^2>0⟺a\mathrm{\ne }0,$$また$$\beta <1⟺2-a>\sqrt{-2a^2+2a+1}⟺3(a-1{)}^2>0⟺a\mathrm{\ne }1.$$以上より、求める範囲は$${\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}}{2}}<a<{\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{2}},a\mathrm{\ne }0,1$$である。