北海道大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通理系数学 第1問／理系 第2問

$(1)$ 与式を $x$ について平方完成すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle x^2-2(a-3)x+(1+b)a^2-12a+1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(x-a+3{)}^2+b{a}^2-6a-8.}\end{array}$$したがって、$x$ が実数全体を動くときは $x=a-3$ で最小となり$$A=b{a}^2-6a-8.$$一方、$a-3<a$ だから、頂点は区間 $a\leqq x$ の左側にある。この区間では左端 $x=a$ で最小となり$$B=b{a}^2-6a+1.$$頂点と制限区間の位置関係は次の通りである。

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$(2)$ $y$ を固定すると、(1)の $a$ を $y$ に替えた形だから、$x$ 方向の最小値は$$b{y}^2-6y-8$$である。これが実数 $y$ 全体で最小値をもつには $b>0$ が必要である。平方完成すると$$b{y}^2-6y-8=b{(y-{\displaystyle \frac{3}{b}})}^2-{\displaystyle \frac{9}{b}}-8.$$よって二変数全体での最小値は $-9\mathrm{/}b-8$ である。これが $-b$ に等しいので$$-{\displaystyle \frac{9}{b}}-8=-b,b^2-8b-9=0.$$したがって $b=9,-1$ であるが、$b>0$ より$$b=9.$$

(1) は導関数から頂点と制限区間での増減を判定する。(2)は二変数の式を2つの平方の和と定数へ一度に変形し、最小値と等号条件を読み取る。

$(1)$ 与式を $q(x)$ とすると$$q^{\mathrm{\prime }}(x)=2x-(a-3)\mathrm{.}$$したがって $q$ は $x=a-3$ で最小となる。代入して$$A=q(a-3)=b{a}^2-6a-8.$$また $x\geqq a$ なら$$q^{\mathrm{\prime }}(x)=2x-a+3\geqq 6>0$$だから、この範囲では単調増加である。よって$$B=q(a)=b{a}^2-6a+1.$$$(2)$ 与式を一括して平方完成すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle x^2-2(y-3)x+(1+b)y^2-12y+1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(x-y+3{)}^2+b{(y-{\displaystyle \frac{3}{b}})}^2-{\displaystyle \frac{9}{b}}-8.}\end{array}$$最小値が存在するには $b>0$ が必要であり、そのとき2つの平方を同時に0にできる。実際$$y={\displaystyle \frac{3}{b}},x=y-3$$とすればよい。したがって最小値は $-9\mathrm{/}b-8$ である。

条件より$$-{\displaystyle \frac{9}{b}}-8=-b\mathrm{.}$$$b>0$ のもとでこれを解けば$$(b-9)(b+1)=0,b=9.$$