北海道大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

$u=y-x,v=2-x-y$ とおく。はじめの二つの不等式は $u>0,v>0$ となる。また，この変換を解くと $$x={\displaystyle \frac{2-u-v}{2}},y={\displaystyle \frac{2+u-v}{2}}$$ である。

三つ目の不等式に代入すると $ax+(2a+3)y<1$ は $$a{\displaystyle \frac{2-u-v}{2}}+(2a+3){\displaystyle \frac{2+u-v}{2}}<1$$ である。左辺を整理すると $$3(a+1)+{\displaystyle \frac{a+3}{2}}u-{\displaystyle \frac{3(a+1)}{2}}v<1$$ となるので，$${\displaystyle \frac{a+3}{2}}u-{\displaystyle \frac{3(a+1)}{2}}v+3a+2<0$$ である。

いま $u>0,v>0$ は第一象限を表す。この第一象限を直線 $${\displaystyle \frac{a+3}{2}}u-{\displaystyle \frac{3(a+1)}{2}}v+3a+2=0$$ で切って三角形の内部にするためには，直線が二つの正の軸上で交わり，かつ原点付近が不等式を満たす必要がある。つまり $${\displaystyle \frac{a+3}{2}}>0,-{\displaystyle \frac{3(a+1)}{2}}>0,3a+2<0$$ が必要十分である。

これらはそれぞれ $$a>-3,a<-1,a<-{\displaystyle \frac{2}{3}}$$ である。はじめの二つを同時に満たせば三つ目も自動的に満たされるので，求める範囲は $-3<a<-1$ である。

最初の2直線の交点から伸びる二つの境界半直線上で、第三の直線との交点を直接調べる。両方の交点が境界半直線の正しい側にあり、頂点も第三不等式を満たすことを必要十分条件として整理する。

最初の二つの境界直線$$y=x,y=2-x$$は $V=(1,1)$ で交わり、領域は $V$ から左上へ伸びる二つの半直線の間である。

境界 $y=x$ 上で $x<1$ とすると、第三の境界直線との交点は$$ax+(2a+3)x=1,x={\displaystyle \frac{1}{3(a+1)}}\mathrm{.}$$この交点が $x<1$ の側に有限に存在し、頂点 $V$ と切り取られるための条件は$$a<-1.$$実際、$a<-1$ なら分母は負なので $x<0<1$ である。

次に $y=2-x$ 上で $x<1$ とすると、$$ax+(2a+3)(2-x)=1$$より$$x={\displaystyle \frac{4a+5}{a+3}}\mathrm{.}$$この交点が $x<1$ の側に有限に存在する条件は$${\displaystyle \frac{4a+5}{a+3}}<1⟺{\displaystyle \frac{3a+2}{a+3}}<0.$$すでに $a<-1$ だから、これは $a>-3$ と同値である。

さらに頂点 $V=(1,1)$ では第三不等式の左辺が $3a+3$ なので、$$3a+3<1.$$これは $-3<a<-1$ のもとで自動的に成り立つ。以上の条件は逆に、第三の直線が二つの境界半直線をそれぞれ一度ずつ横切り、その三辺で有限な三角形を作ることも保証する。

したがって求める範囲は$$-3<a<-1$$である。